Cardinal

@Dom : Bien joué !

@jm14d : cette question est indécidable dans ZFC.

Pour plus d'infos, tu peux chercher les mots clé "hypothèse du continu", ou encore "hypothèse du continu généralisée"

L'hypothèse du continu généralisée est cohérente (si tant est que ZFC l'est), c'est par exemple prouvé par Gödel (en considérant l'univers des constructibles)

Ensuite, il est aussi cohérent que le cardinal de $\R$ soit $\aleph_1$ et que $2^{\aleph_1}=\aleph_3$ (à nouveau sous réserve de la cohérence de ZFC), auquel cas ton énoncé devient faux.
(Pour ce deuxième résultat, il faut des techniques plus sophistiquées que celles de Gödel)

Alors oui et non : si elle est vraie, tu obtiens que tous les $\aleph_n$ sont de la forme $P(....(P(\R))....)$ mais après tu peux aller plus loin : tu as $\aleph_\omega$, puis son successeur etc. (qui serait, sous HCG - Hypothèse du Continu Généralisée - juste $P(\aleph_\omega)$).

Mais en fait, même ça, ça ne te donne pas forcément tout : on pense (mais on ne peut pas le démontrer) que l'existence de cardinaux inaccessibles est cohérente, auquel cas tu as des cardinaux que tu ne peux pas atteindre en itérant $P(-)$ et en prenant des limites de taille que tu connais déjà.

$\aleph_1$ est le successeur de $\aleph_0$, par définition il n'y a rien au milieu. J'imagine que tu voulais dire $2^{\aleph_0}$ (aussi connu sous le nom de$\R$)

Si oui, alors la réponse est non : il peut y avoir $1,2,56,\aleph_0$ cardinaux entre les deux. En fait il y a très peu de contraintes sur un $\alpha$ tel que $2^{\aleph_0}$ peut valoir $\aleph_\alpha$.

Je sais que Martial m'avait déjà corrigé à ce sujet, mais je crois que $\alpha$ peut être n'importe quoi qui ait une cofinalité finie ou $>\omega$. En particulier, si tu veux qu'il y ait $\kappa$ cardinaux entre $\aleph_0$ et $2^{\aleph_0}$, tu peux faire en sorte que $2^{\aleph_0} = \aleph_{\kappa+1}$

Dom : les cardinaux sont bien ordonnés, en particulier chaque cardinal a un successeur tel qu'il n'y a rien entre les deux : un cardinal strictement plus grand que $\aleph_0$ est plus grand (au sens large) que $\aleph_1$.

Selon ta définition de "cardinal", c'est un théorème de ZF ou de ZFC

@dom: le terme $\omega_1$ est un abus de langage. C'est une propriété de la forme "être égale à $\omega_1$".

Si (il se trouve que ce n'est pas le cas) tu pouvais ajouter des cardinaux entre $a$ et $b$ et que $b$ a la propriété "je suis omega1" dans l'univers de départ, il ne l'a plus dans l'univers d'arrivée.

Idem pour IR.

Tu as ton premier univers $V_1$, et dedans un $a$ qui a la propriété "je suis l'ensemble des réels". Tu l'agrandis et obtiens un nouvel univers $V_2$. Dedans, tu n'as plus que $a$ peut dire "je suis l'ensemble des réels". L'unique ensemble $b$ de $V_2$ qui peut dire "je suis l'ensemble des réels" dans $V_2$ est un autre ensemble (on a d'ailleurs $a\subset b$ quand on procède par forcing). Son sous-ensemble $a$ de réels a un côté "anecdotique", il n'est plus (vu dans $V_2$) complet, ni rien priori. Avec le Cohen-forcing, il reste non dénombrable, mais c'est tout.

@max: à ma connaissance, "n'importe quel cardinal" mais je dirais "régulier" quand-même, je ne suis pas sûr qu'il soit si simple de forcer des singularités. Bon, mais ça importe peu dans une réponse à dom.

@dom: un cardinal $k$ gigantesque vu dans $V_1$ sera par exemple tel que $P(k)$ s'injecte sans problème dans $b$ en reprenant mon paragrahe précédent.

C'est pourquoi si tu écoutes des conversations de café de TDistes, tu les entendras volontiers dire des choses comme "on ajouté des réels". Par exemple, on peut rajouter des random réels en quantité suffisante pour que presque tous au sens de Lebesgue (Vu dans $V_2$) n'aient aucune propriété particulière (ie une que n'avait qu'un quantité négligeable de réels dans $V_1$), de sorte que dans le nouvel univers $V_2$, toute collection définissable (sans user de AC) est Lebesgue mesurable (vu dans $V_2$). En fait, en dehors de grossiers branchements, elle n'est faite que d'un nombre négligeable de réels "atypiques" + des ouverts et fermés d'ouverts randam sans spécifités qui n'émergent que de la définition de la collection.

Christophe : t'es sûr ? Il me seblait que c'était au départ (i.e. sur le $\aleph_\kappa$ dont on veut fixer l'exponentielle) qu'il y avait une condition de régularité. Cf la page wiki sur le théorème d'Easton par exemple

Et Max a raison (une fois de +), c'est pareil pour le théorème d'Easton. Les 2 seules contraintes sont :
1) la croissance au sens large de la fonctionnelle $\kappa \mapsto 2^{\kappa}$
2) $cf(2^{\kappa}) > \kappa$

@Max et Martial, oui, je confirme et non pardon, je n'étais sûr de rien (du moins pour répondre à dom, je ne voyais pas l'utilité de dire le plus, j'ai donc dit le moins). Comme le signale Martial, c'est kappa qui doit être régulier, par 2 à la puissance kappa.

Pour être précis, on part de $V_1$ et on passe à $V_2$ en ajoutant $k$ nouveaux réels de manière ccc (avec $k$ gros et cardinal. Ce qui fait que pour toute fonction $f\in V_2$ dont le domaine ne contient que des éléments de $V_1$, il existe une fonction $g\in V_1$ telle que:

1/ $\forall x\in dom(f): g(x)$ est dénombrable (vue dans $V_1$)

2/ $\forall x\in dom(f): f(x)\in g(x)$.

Les cofinalités et les cardinaux sont donc préservés. Il suivra qu'il y aura du point de vue de $V_2$ au moins (et en fait exactement SOUS CERTAINES CONDITIONS SUR $k$) $k$ réels (dont $k$ nouveaux, hein dom :-D ) . Point besoin de supposer quoique ce soit sur $k$.

Maintenant imaginons que espièglement on ait pris $k$ comme réunion (cardinalement) des $P^n(e)$ où $n$ varie sur $\N$. Alors il y a une surjection canonique de $k^\N$ sur $2^k$. Si on a surjecté IR sur $k$, on alors automatiquement surjecté IR sur $2^k$, puisqu'il y a une surjection canonique de IR sur $[$ IR à la puissance $\N]$

Un des exercices de base du forcing, est à l'autre bout de voir que si $cof(k)>\N$ (vue dans $V_1$), alors (vu dans $V_2$), il y a une bijection entre $\R$ et $k$.

Je rappelle ce qu'est le forcing pour dom ici, afin qu'il ne soit pas juste à mater de loin.

On a une algèbre de Boole $B$ et une "fonction" binaire $R$ qu'on a fabriquée sur tout l'univers et qui envoie chaque couple de l'univers ($V_1$) sur un élément de $B$.

Il y a un ensemble $G\subset B$ appelé "générique" (qui ne peut pas être dans $V_1$ sauf cas triviaux) et une fonction $\phi$ (tout ça hors de $V_1$). Mais ensuite tout "peut se lire dans $V_1$". Et $V_2$ est juste l'ensemble des $\phi(x)$ quand $x$ parcourt $V_1$.

Précisément $\phi(x) = \{\phi(y) \mid R(y,x)\in G\}$.

La condition que j'ai notée "ccc" dit que (tout se passe dans $V_1$ ici, $V_2$ est une vue de l'esprit) que pour tout $X\subset B$ si $X$ n'est pas dénombrable alors il y a $a,b,c$ avec $a,b$ dans $X$ et $c\in B$ tels que $c\leq a$ et $c\leq b$ et $c\neq 0_B$.

Je n'aurai plus wifi, mais si tu veux en savoir un peu plus sur ce qu'on demande à $G$? Et bien juste d'être "ultrafiltrant avec une no-limited additivité. Je te laisse demander pour le mot ultrafiltrant. La NLA dit juste que si un ensemble $(\in V_1$) est inclus dans $G$ alors la borne inf de ses éléments $\in G$. C'est pour ça que $G$ ne peut pas être dans $V_1$ sauf si trivialisation. (Autrement dit, $G$ envoie $B$ sans $\{vrai; faux\}$ de manière "parfaite" (mais seulement au regard de $V_1$ où tout se passe.

@dom spécifiquement. Tu devrais t'entrainer à faire l'exo de caractériser les algèbres de Boole où pour tout $X\subset B$ si $X$ n'est pas fini alors il y a $a,b,c$ avec $a,b$ dans $X$ et $c\in B$ tels que $c\leq a$ et $c\leq b$ et $c\neq 0_B$.

C'est vague (à cause de "caractériser" mais vois-y une liberté pour toi). Le faire te permettrait de ne pas rester passif face à ces réponses.