Catégories et NBG

Manda · August 2020

Salut,

Concernant la théorie des catégorie et plus précisément de la catégories des foncteurs entre deux catégories C et D, je cherche une explication à la phrase suivante qui provient de Wikipédia ( page Catégorie de foncteurs) :

"Dans de nombreux cas, on exige que C soit une catégorie localement petite, pour des raisons fondationnelles, c'est-à-dire que ses morphismes forment un ensemble et non une classe propre."

Après avoir recherché par moi même ainsi que dans les références classiques, je n'ai rien trouvé concernant cette affirmation. J'ai bien saisi que dans le cas où C est petite, la catégorie des foncteurs Fonc(C,D) est bien définie mais dans le cas où C est localement petite, je n'arrive pas à saisir un argument.

J'ai oublié de préciser que je cherche un argument qui marche en travaillant avec la théorie des classes NBG, et non pas avec ZFC+ Axiome de l'univers de Grothendieck (oui je me casse la tête pour rien).

Je vous remercie d'avance.

Maxtimax · August 2020

Si $V$ est un modèle de ZFC, alors $V$ et ses parties forment un modèle de NBG.

En particulier c'est le cas si $V$ est un univers de Grothendieck et donc si tu ne sais pas trop répondre à une question dans NBG, tu peux souvent la traduire dans ce cadre pour voir de quoi il s'agit.

Je prenss donc un cardinal inaccessible $\kappa$, et je regarde $V_\kappa$ comme modèle de NBG (cf. plus haut). Je prends ensuite $C=V_\kappa$ comme catégorie discrète (càd que $\hom(x,y) = \emptyset$ si $x\neq y, \{id_x\}$ sinon), et $D=2$, aussi comme catégorie discrète.

Les deux sont localement petites (à ma connaissance, un singleton n'est pas une classe propre :-D ), pour autant, $Fon(C,D)= 2^{V_\kappa}$ qui n'est visiblement pas inclus dans $V_\kappa$, et donc ne forme pas une catégorie en ce sens.

Donc tu as bien raison d'être perplexe !

(Note qu'on voit ici un avantage des univers par rapport à NBG : ils donnent plus de flexibilitè, en particulier on peut définir $Fon(C,D)$, il faut "juste" passer à un plus gros univers)

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