Univers de Grothendieck

ignatus · August 2020

Bonjour,

j'espère ne pas poser de questions trop stupides, mais j'aimerais connaître la taille des univers de Grothendieck. Quelle est la taille de ces univers par rapport aux grands cardinaux ? Y a-t-il une hiérarchie de tailles entre ces univers ?

Merci.

ignatus.

Maxtimax · August 2020

Un univers de Grothendieck c'est essentiellement pareil qu'un cardinal inaccessible

Martial · August 2020

Je précise un tout petit peu.
Il est facile de démontrer par récurrence transfinie qu'un univers de Grothendieck est nécessairement de la forme $V_{\kappa}$ avec $\kappa=0$, $\kappa = \omega$ ou $\kappa$ cardinal (fortement) inaccessible.

L'axiome des univers de Grothendieck dit que tout ensemble appartient à un tel univers.
Il est donc équivalent à dire qu'il existe une classe propre d'inaccessibles, ou, si tu préfères, il existe des inaccessibles arbitrairement grands : pour tout cardinal $\lambda$ il existe un inaccessible $\kappa > \lambda$.