Segments initiaux non isomorphes
Bonjour,
ma question est peut-être triviale et je m'en excuse. Je suis en train de lire le livre de P. Dehornoy sur la théorie des ensembles.
Page 46, il fait la remarque suivante : aucun segment initial de $(\mathbb{Z},<)$ n'est isomorphe à un segment initial de $(\mathbb{Q}^{+},<)$.
Comment prouve-t-on cela ? Par avance merci.
ma question est peut-être triviale et je m'en excuse. Je suis en train de lire le livre de P. Dehornoy sur la théorie des ensembles.
Page 46, il fait la remarque suivante : aucun segment initial de $(\mathbb{Z},<)$ n'est isomorphe à un segment initial de $(\mathbb{Q}^{+},<)$.
Comment prouve-t-on cela ? Par avance merci.
Réponses
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Soit $I$ un segment initial de $(\Q^+,<)$. Alors ou bien $I$ est un singleton ($\{0\}$), ou bien pour tous $x,y\in I$ tels que $x<y$, il existe $z\in I$ tel que $x<z$ et $z<y$.
Aucun des segments initiaux de $(\Z,<)$ ne possède ces propriétés.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
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