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Sous-algèbre de Boole

superpowersuperpower
dans Fondements et Logique
Bonjour,
Je voudrais savoir que si on a une sous-algèbre de Boole d’une algèbre de Boole $A$ isomorphe à $A$ alors elle sont égales.
Merci beaucoup.

Réponses

  • FoysFoys
    Soit $f:\N \to \N$ une fonction surjective et non injective (exemple: $n\mapsto \lfloor \frac n 2\rfloor$). Alors l'application qui à $A\in \mathcal P(\N)$ fait correspondre $f^{-1}(A)$ est injective et non surjective; et il s'agit d'un morphisme d'algèbre de Boole.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • superpowersuperpower
    Ok merci.
    Tu crois que une sous-algèbre de Boole correspond à une relation d’équivalence sur les atomes (quand elle est atomique) ?
    Merci d’avance.
  • superpowersuperpower
    Est-ce que ton argument fonctionne toujours pour l’algèbre de Boole complétée de l’unique algèbre de Boole sans atomes dénombrable ?
    Merci beaucoup.
  • FoysFoys
    Mon exemple est construit spécifiquement pour des algèbres de [large]B[/large]oole ensemblistes. Je ne sais pas s'il se généralise.

    [George Boole (1815-1864) prend toujours une majuscule. AD]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • superpowersuperpower
    Ok et pour ma précédente question sur la relation entre les atomes?
    Merci d’avance
  • superpowersuperpower
    L'algèbre de Boole complétée de l’algèbre de Boole sans atomes dénombrable est les réunions finies d’intervalles inclus dans $[0,1]$ quotienté par les parties de mesure nulle.
    Donc ici si on prend la partie de l’algèbre de Boole constituée des parties telles que « il appartient à un ultrafiltre $a$ ssi il appartient à un ultrafiltre $b$ ».
    Les ultrafiltres correspondent aux points de l’intervalle unité.
    Mais comme c’est presque partout la partie de l’algèbre de Boole qui respecte la relation est la même que celle de départ.
    Mon raisonnement est correct ?
    Merci d’avance.
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