$\sqrt{17}$ est-il irrationnel ?
En lien (pas vraiment - mais je partage quand même, parce que je trouve ça très intéressant) avec ce fil, voilà un fil twitter intéressant.
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Réponses
Quand on arrive à l'étape $p^2 = 17 \cdot q^2$, n'est-il pas évident que si $p$ et $q$ sont des nombres naturels, il n'y a pas la même parité de facteurs des deux côtés de l'égalité ou est-ce déjà faire appel au théorème fondamental de l'arithmétique ?
D'avance merci.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je tiens toutefois à préciser que cet argument tient compte de n'importe quelle décomposition en facteurs de p et q (donc pas forcément avec des facteurs
premiers).
Le but est de se rendre compte qu'un carré de naturel a forcément un nombre pair de facteurs, même s'ils ne sont pas tous premiers.
Ensuite, Il y a un nombre impair de facteurs d'un côté et un nombre pair de facteurs de l'autre si la décomposition en facteurs est menée à son terme.
Édit : Merci Calli, je n'avais pas pensé à ce cas de figure.
Encore merci.
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Si on est pas assez précis sur la nature de ces facteurs, c'est faux. Par exemple, dans $8^2 = 4\times 4\times 4$ on a trois facteurs.
$\sqrt 1$ est-il irrationnel ?
$p^2=1.q^2$...pair/impair...donc oui ? ah mais non en fait !
Bref, il faut voir que $17$ est premier ou plus généralement que $N$ (pour $\sqrt N$) a au moins un facteur de la forme $p^k$ avec $p$ premier ($\ge 2$) et $k$ impair et là et seulement là on peut répondre oui. De la même manière $\sqrt {2700}$ est irrationnel.
C'est pour ça que j'ai posté en Logique et pas en Arithmétique
(Et, honnêtement, je n'aime pas me vanter mais franchement on peut espérer que je sais démontrer que $\sqrt{17}$ est irrationnel, non ?)
Donc, pour être plus clair, on regarde si
a) $N$ est divisible par un facteur $m^k$ avec $1<m<N$ (avec $m$ quelconque, premier ou non) et $k$ IMPAIR et $N$ n'est pas divisible par $m^{k+1}$ ou bien
b) $N$ est divisible par $m$ avec $1<m\le N$ implique $m=N$.
Dans ces cas et seulement dans ces cas $\sqrt N$ est irrationnel.
(d'ailleurs, les deux sont déjà dans des considérations beaucoup trop avancées: divisibilité, exposants, etc.)
gai requin: en principe la définition requiert quand même des notions de divisibilité qui sont, je crois (il faudrait voir précisément les articles) bannies.
En fait, je t'invite à lire le fil twitter: l'une des difficultés (la principale, je crois) est de réussir à cerner précisément ce qu'on cherche. Si tu lis le fil tu pourras donc avoir une meilleure intuition de ce qu'on cherche, et pouvoir répondre toi-même à "est-ce qu'on accepte le pgcd ?".
Je t'invite à lire le fil si tu es perplexe quant à l'intérêt de la question - la motivation est tout à fait raisonnable, et la question du $17$ remonte visiblement à très longtemps (Platon,...)
Petite question d'histoire : je suppose que les grecs connaissaient le théorème fondamental de l'arithmétique et savaient que $\sqrt N$ est soit entier soit irrationnel, non ?