Applications bijectives et compositions

dp · September 2020

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$Bonsoir tout le monde !
J'ai ressorti mes "vieux" cours de première année (parce que pourquoi pas :)o) et je me suis rendu compte que je n'arrive pas à totalement justifier, de sorte à me convaincre, un exercice pourtant tout bête que voici :

Soient $f\in\scr{F}$$(E, F)$, $g\in\scr{F}$$(F, G)$ et $h\in\scr{F}$$(G,H)$ trois applications.
Démontrer que si $g\circ f$ et $h\circ g$ sont bijectives alors $f$, $g$ et $h$ sont aussi bijectives.

Alors évidement, la première partie est triviale notamment grâce à la proposition suivante.

Soient $f\in\scr{F}$$(E, F)$ et $g\in\scr{F}$$(F, G)$ deux applications.
Si la composée $g\circ f$ est bijective alors $f$ est injective et $g$ est surjective.

On montre donc très facilement que $g$ est surjective (car $g\circ f$ est bijective) et injective (car $h\circ g$ est bijective) donc bijective, admettant une réciproque $g^{-1}$.
Là où je n'arrive pas à trouver de quoi me convaincre, c'est pour montrer que $f$ et $h$ sont bijectives. Instinctivement j'ai envie de dire que :

$g^{-1}\circ (g\circ f)=(g^{-1}\circ g)\circ f=\id_F\circ f=f$ et $(h\circ g)\circ g^{-1}=h\circ (g\circ g^{-1})=h\circ\id_G=h$ donc $f$ et $h$ sont bijectives par composition d'applications bijectives,

Cependant, ça m'a l'air bancal comme justification...
Quelqu'un aurait une preuve un peu plus convaincante ? :-D

Nîmes-man · September 2020

dp a écrit:

Cependant, ça m'a l'air bancal comme justification...

Pourquoi ?

dp · September 2020

Ça m'a l'air circulaire. Je veux montrer que $f$ et $h$ sont bijectives alors je suppose qu'elles le sont pour justifier la composition d'applications bijectives... Après je me fais peut-être simplement des idées, je ne suis plus très frais. :-o

Math Coss · September 2020

On peut reformuler en explicitant la réciproque de $f$ et $h$ mais ça revient bien au même.

Par exemple, posons $F=(g\circ f)^{-1}\circ g$ et $H=g\circ(h\circ g)^{-1}$ et vérifions que $f\circ F=\mathrm{id}$ et $F\circ f=\mathrm{id}$ (l'autre doit être à l'avenant). En effet, \[F\circ f=(g\circ f)^{-1}\circ g\circ f=\mathrm{id}\] et \[f\circ F=f\circ(g\circ f)^{-1}\circ g=g^{-1}\circ\bigl[g\circ f\circ (g\circ f)^{-1}\bigr]\circ g=g^{-1}\circ\mathrm{id}\circ g=\mathrm{id}.\]

Nîmes-man · September 2020

dp a écrit:

je suppose qu'elles le sont

Où ça ?

dp · September 2020

@Nîmes-man
En disant "par composition d'applications bijectives", après tout pourquoi ne le seraient-elles pas ? Elles sont bien dans la composition d'applications supposées bijectives.

Mais à nouveau, je suis complètement à la ramasse ce soir ! Il ne fait aucun doute que j'y verrai mieux demain. D'ailleurs si j'avais attendu demain justement, je n'aurais surement pas ouvert ce fil. :)o

@Math Coss
Intéressant, je n'avais jamais pensé à cette approche, quoi que d'une lourdeur assez prononcée !

Nîmes-man · September 2020

dp a écrit:

En disant "par composition d'applications bijectives".

Tu supposes que $g\circ f$ et $g^{-1}$ sont bijectives (pour la première c'est dans l'énoncé, pour la seconde tu l'as montré) et tu en déduis que $f$ est bijective. Tu n'as pas supposé que $f$ était bijective.

De même, des informations que $h\circ g$ et $g^{-1}$ sont bijectives tu déduis que $h$ est bijective; tu ne supposes pas que $h$ est bijective.

dp · September 2020

@Nîmes-man
Je me suis rendu compte de mon idiotie le lendemain matin même.

En tous cas, merci à toi ainsi qu'à @Math Coss d'avoir participé à cette mascarade... La prochaine fois, j'y réfléchirai à deux fois avant d'ouvrir un fil en fin de semaine !