Algèbres de Boole complètes
Salut à tous,
J'ai 2 questions, sans doute triviales, mais qui me posent problème.
Recopiage du Jech page 84 : ($B^+ = B \setminus \{0\})$.
Définition : 1) Soit $B$ une algèbre de Boole. Un sous-ensemble $W \subseteq B^+$ est une antichaîne dans $B$ si, pour tous $u,v \in W$, on a $u \neq v \to u \land v = 0$.
2) Soit $u \in B$. On appelle partition de $u$ toute antichaîne $W$ telle que $\bigvee W = u$.
Une partition de $1$ est appelée simplement une partition. A noter que ce n'est rien d'autre qu'une antichaîne maximale.
Définition : Soit $\kappa$ un cardinal infini. Une algèbre de Boole $B$ est dite $\kappa$-saturée s'il n'existe pas de partition $W$ de $B$ de cardinal $\kappa$. On note $sat(B)$ le plus petit cardinal $\kappa$ tel que $B$ soit $\kappa$-saturée.
Vocabulaire : Dans le cas où $B$ est $\kappa$-saturée, on dit aussi que $B$ satisfait la condition de $\kappa$-chaîne ($\kappa$-cc). Cette terminologie tient au fait que si $B$ est complète, alors $B$ est $\kappa$-saturée ssi il n'existe pas dans $B$ de suite strictement décroissante de longueur $\kappa$, i.e. ssi il n'existe pas de suite $(u_{\alpha})_{\alpha < \kappa}$ telle que $\forall \alpha < \kappa, u_{\alpha} \in B$ et $\forall \alpha, \beta, \alpha < \beta < \kappa \to u_{\beta} < u_{\alpha}$.
Question 1 : Déjà, là, je ne comprends pas pourquoi ces deux assertions sont équivalentes.
Je continue avec le Jech.
Théorème : Si $B$ est une algèbre de Boole complète infinie, alors $sat(B)$ est un cardinal régulier non dénombrable.
Démonstration : Posons $\kappa = sat(B)$. Il est clair que $\kappa$ est non dénombrable.
Question 2 : Là, c'est le "il est clair que" qui me perturbe. En utilisant la caractérisation ci-dessus, il s'agit donc de prouver qu'il y a toujours une chaîne infinie descendante de longueur $\aleph_0$. J'ai envie de raisonner ainsi : soit $u_0 \in B^+$. ll existe $u_1 \in B^+$ tel que $u_1 < u_0$, et blablabla.
Mais ai-je vraiment le droit de dire cela ? Ne faut-il pas supposer que $B$ est non-atomique, i.e. que $\forall a \in B^+ \exists b \in B^+; b<a$ ?
Question subsidiaire : Comment on fait, sur le forum, pour mettre un truc en gras ? Il semble que \textbf{} ne marche pas.
J'ai 2 questions, sans doute triviales, mais qui me posent problème.
Recopiage du Jech page 84 : ($B^+ = B \setminus \{0\})$.
Définition : 1) Soit $B$ une algèbre de Boole. Un sous-ensemble $W \subseteq B^+$ est une antichaîne dans $B$ si, pour tous $u,v \in W$, on a $u \neq v \to u \land v = 0$.
2) Soit $u \in B$. On appelle partition de $u$ toute antichaîne $W$ telle que $\bigvee W = u$.
Une partition de $1$ est appelée simplement une partition. A noter que ce n'est rien d'autre qu'une antichaîne maximale.
Définition : Soit $\kappa$ un cardinal infini. Une algèbre de Boole $B$ est dite $\kappa$-saturée s'il n'existe pas de partition $W$ de $B$ de cardinal $\kappa$. On note $sat(B)$ le plus petit cardinal $\kappa$ tel que $B$ soit $\kappa$-saturée.
Vocabulaire : Dans le cas où $B$ est $\kappa$-saturée, on dit aussi que $B$ satisfait la condition de $\kappa$-chaîne ($\kappa$-cc). Cette terminologie tient au fait que si $B$ est complète, alors $B$ est $\kappa$-saturée ssi il n'existe pas dans $B$ de suite strictement décroissante de longueur $\kappa$, i.e. ssi il n'existe pas de suite $(u_{\alpha})_{\alpha < \kappa}$ telle que $\forall \alpha < \kappa, u_{\alpha} \in B$ et $\forall \alpha, \beta, \alpha < \beta < \kappa \to u_{\beta} < u_{\alpha}$.
Question 1 : Déjà, là, je ne comprends pas pourquoi ces deux assertions sont équivalentes.
Je continue avec le Jech.
Théorème : Si $B$ est une algèbre de Boole complète infinie, alors $sat(B)$ est un cardinal régulier non dénombrable.
Démonstration : Posons $\kappa = sat(B)$. Il est clair que $\kappa$ est non dénombrable.
Question 2 : Là, c'est le "il est clair que" qui me perturbe. En utilisant la caractérisation ci-dessus, il s'agit donc de prouver qu'il y a toujours une chaîne infinie descendante de longueur $\aleph_0$. J'ai envie de raisonner ainsi : soit $u_0 \in B^+$. ll existe $u_1 \in B^+$ tel que $u_1 < u_0$, et blablabla.
Mais ai-je vraiment le droit de dire cela ? Ne faut-il pas supposer que $B$ est non-atomique, i.e. que $\forall a \in B^+ \exists b \in B^+; b<a$ ?
Question subsidiaire : Comment on fait, sur le forum, pour mettre un truc en gras ? Il semble que \textbf{} ne marche pas.
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Réponses
https://www.springer.com/gp/book/9783540440857
Pour ton autre question, une algèbre de Boole (complète) dont toutes les antichaînes sont finies a "une grosse antichaîne héroïque" finie dont les autres sont des comment dire ... "agglomérats", si tu vois ce que je veux dire :-D (L'héroïque est formée par les atomes, qui existent sinon il y aurait une suite strictement décroissante).
Inversement, une antichaîne te donne une suite décroissante en sommant (et en prenant des bornes sup aux limites).
"Soit $\mathbf B$ une algèbre de [large]B[/large]oole complète ... "
D'accord pour la 1ère partie.
Mais dans l'autre sens je ne comprends pas : soit $(u_{\alpha})$ une antichaîne.
Si tu poses $v_0=u_0$, $v_1=u_0+u_1$ etc, tu as $v_1 > v_0$, donc ça va plutôt te donner une suite croissante, non ?
J'ai l'impression d'être complètement à l'ouest. Et je crains que ce ne soit pas seulement une impression...
$\mathbf{blabla}$
Danke schön !
Pour cela j'essaye de prouver qu'il y a forcément une suite infinie strictement décroissante.
1) C'est clair si $B$ n'a pas d'atomes.
2) S'il y a au moins $\aleph_0$ atomes, la collection de ces atomes me donne une antichaîne dénombrable, donc c'est bon.
3) Mais que faire s'il n'y a qu'un nombre fini d'atomes ?
(preuve : soit $B$ complète, $A$ l'ensemble de ses atomes. Soit $P(A)\to B$ définie par $S\mapsto \bigvee S$. Clairement cette application est croissante.
Sa réciproque est donnée par $x\mapsto \{a\in A \mid a\leq x\}$, qui est clairement croissante aussi.
La preuve qu'elles sont bien inverses l'une de l'autre se base sur deux lemmes: a) si $y\neq 0$ dans $B$, il existe un atome $<y$; et b) $B$ est distributive (en effet $a\land -$ est adjoint à gauche de $(a\implies -) = (a^*\lor -)$, et donc il préserve les bornes supérieures)
)
Tu recommences avec le complémentaire de la réunion desdits atomes ;-)
Je te remercie également de ne pas m'avoir dit qu'il fallait utiliser le lemme de König, ça m'a obligé à me creuser le cerveau, lol.
(enfin je ne connais pas le terme précis mais définition : blabla)
Le théorème que tu cites est vrai dans le cas fini : toute algèbre de Boole finie $B$ est isomorphe à $\mathscr P(X)$, où $X$ est l'ensemble des atomes de $B$.
Dans le cas infini tu peux seulement dire que $B$ est isomorphe à une sous-algèbre d'un certain $\mathscr P(X)$. C'est le théorème de représentation de Stone.
Bien sûr il est faux en général, et c'est précisément la condition qu'il faut pour obtenir $P(X)$
No souci !
Et en plus grâce à toi et à Christophe j'ai appris des choses car je n'avais vraiment pas les idées très claires sur les algèbres de Boole, finies ou pas, complètes ou pas...
L'intérêt est celles qui sont infinies et non dénombrables quand c'est pour le forcing.
J'avais noté l'erreur possible de max, mais je croyais qu'il supposait l'AB sans antichaine autre que finie. Dans ce cas, il ne faisait pas d'erreur. Bon apparemment non ou il a oublié qu'il a supposé ce truc, mais ça lui ressemble peu de donner des gros coups de pieds dans les flaques d'eau comme ça.
1/ La distinction entre algèbre de Boole et anneau de Boole est assez superflue.
1.1/ être un anneau de Boole est la traduction de "être un anneau, pas forcément commutatif, unitaire, qui vérifie $\forall x: x^2=x$"
1.2/ Ca ENTRAINE alors la commutativité.
1.3/ L'opération $<<+1>>$ est une involution. De plus elle est décroissante pour l'ordre $(a,b)\mapsto ab=a$.
2/ On va utiliser l'expression "algèbre de Boole" plutôt que anneau de Boole quand on veut insister sur l'ordre. C'est tout.
3/ Toute algèbre de Boole est un anneau de Boole en posant $ab = (a,b)$ et en travaillant pour définir $+$, travail édifiant qui mérite d'être fait seul, histoire que l'initié parcourt le labyrinthe.
4/ C'est involutif. Si vous partez d'un anneau de Boole, que vous oubliez tout sauf l'ordre et que vous recontruisez les opérations, et bé, vous retombez sur celles données au départ.
5/ Important aussi il ya 2 structures parfaitement isomorphes du fait de l'involution décroissante " $non(x) := (x+1)$ "
6/ De manière imagée, une algèbre de Boole est essentiellement la donnée d'un ensemble $E$ et d'une PARTIE de $P(E)$ où on n'a pas oublié la prise du "complémentaire" et les opérations inf et sup, et où lesdites se comportent comme prévu (ie qui ressemble à un chouya près à la situation où on aurait partitionné $E$ et où on jouerait avec les réunions des morceaux de la partition. Seul l'infini introduit des "magies inattendues". Autrement dit, une algèbre de Boole est aux algèbres de Boole canoniques $P(X)$ ce que les ultrafiltres sont aux ultrafiltres principaux.
7/ A la (TRES GRANDE) différence de faire joujou avec les ultrafiltres, l'intérêt des algèbres de Boole est de penser à "des ultrafiltres externes irréels" (dits génériques) qui serait TOTALEMENT additifs. De ce fait, les P(X) n'ont strictement aucun intérêt. On va chercher ailleurs la substance sucrée qui donne du jus d'agave. On ne cherche pas des noises à un deficit d'additivité.
8/ Parmi les ensembles ordonnés, il y a une notion très proche: les algèbres de Heyting. Elles ont toutes les propriétés des alg de Boole SAUF la surjectivité de "non" (et donc aussi sauf son injectivité). Elles ne sont donc pas isomorphes à la structure obtenue en renversant l'ordre
9/ Pour celles-ceux qui connaissent la topologie, c'est très très simple:
9.1/ une algèbre de Heyting est la topologie munie de l'ordre inclusion
9.2/ une algèbre de Boole est seulement la prise des intérieurs des fermés de cette topologie. Les ouverts "en quelque sorte troués" sont évacués.
10/ C'est général, même sans parler de topologie. Soit $H$ une alg de Heyting:
10.1/ La restriction de son ordre à l'ensemble $B$ des $x$ tels que $\exists y: x=non(y)$ est une algèbre de Boole
10.2/ Tout élément $x$ de $B$ vérifie $non(non(x)) = x$
11/ Remarque: il n'est pas possible "d'anneler" les algèbres de Heyting car $x\mapsto x+1$ se doit d'être injective dans les anneaux habituels.
Je termine avec une preuve que je vous laisse voir de quoi. Supposons $non$ injective. Comme $non(non(non(x))) = non(x)$, il suit $x=non(non(x))$.
12/ Enfin quelques précisions de base dans toute alg d eHeytin (en particulier de Boole):
12.1/ $0$ est le minimum et $1$ est le maximum (abréviations).
12.2/ $non(x)$ est le maximum des $y$ tels que $inf(x,y)=0$.
12.3/ $x\to y$ est le maximum des $z$ tels que $inf(x,z)\leq y$.
12.4/ Corollaire : $non(x) = (x\to 0)$
12.5/ Corollaire : $\forall x,y,z: [\ ([inf(x,y] \leq z)\iff (x\leq [y\to z]) \ ]$
Question : Peut-on déduire de tout ça que $x \to y = \neg x \lor y$ ?
Ou, si tu préfètes : $x \to y = (1-x) + y$ ?
"$+$" est la différence symétrique.