Entiers non standard
Bonjour à tous, j'ai un problème viscéral avec l'analyse non standard.
Autant je comprends bien et peux utiliser les constructions de Nelson ou Robinson, autant la simple phrase de George Reeb "les entiers naïfs ne remplissent pas N" me pose problème. En fait, c'est quoi un entier naïf ? Est-ce qu'un jour on pourra exhiber un entier non standard ?
Je ne me croyais pas nul en logique et fondements, eh bien la preuve que si ...
Merci pour vos collaborations.
Cordialement.
Jean-Louis.
Autant je comprends bien et peux utiliser les constructions de Nelson ou Robinson, autant la simple phrase de George Reeb "les entiers naïfs ne remplissent pas N" me pose problème. En fait, c'est quoi un entier naïf ? Est-ce qu'un jour on pourra exhiber un entier non standard ?
Je ne me croyais pas nul en logique et fondements, eh bien la preuve que si ...
Merci pour vos collaborations.
Cordialement.
Jean-Louis.
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Réponses
Enfin c'est un entier de l'univers où tu te tiens quoi.
@Jean-Louis : voici un texte de Bourbaki que tu prendras soin de lire à partir de "De même que l'art de parler correctement (...)". Lire ensuite ceci.
Cordialement.
Jean-Louis.
Par exemple, tu te donnes un ultrafiltre $\mathscr U$ sur $\omega$, non principal, et tu considères l'ultrapuissance $\omega^{\omega}/ \mathscr U$, munie de la relation $\widetilde{\in}$ définie par $Cl(u) \widetilde{\in} Cl(v)$ ssi $\{n \in \omega : u_n \in v_n \} \in \mathscr U$.
Par le théorème de Los ce truc est élémentairement équivalent à $(\omega, \in)$, donc en particulier il satisfait Peano. Là-dedans les entiers naïfs sont les classes d'équivalence des suites constantes d'entiers. Mais la classe de la suite $(0,1,2,...,n,...)$ est clairement un entier non standard.
Bon, de là à dire que j'ai EXHIBE un entier non standard il y a un pas à franchir...
Martial, en fait mon problème n'est pas vraiment la compréhension de ces histoires de standard ou non , mais l'étonnement de voir de grands professeurs déclarer comme chose évidente "les entiers naïfs ne remplissent pas N". Et de ce que j'ai pu lire G.Reeb se plaisait à déclamer cette phrase mais ne donnait pas plus d'explications. Comme si c'était évident. Et mon tort a été de lire cette phrase avant d'entamer une étude sérieuse de l'analyse non standard.
Amicalement.
Jean-Louis.
Exemple :
Décret du 30 septembre 2020 : "Le modèle de ZFC dans lequel nous vivons a été obtenu comme ultrapuissance d'un autre univers par un ultrafiltre non principal sur $\omega$. Toute personne qui contestera cette décision sera passible d'une amende forfaitaire de 135 euros".
Alors là, oui, d'accord, ce monsieur pourra dire haut et fort, et preuve à l'appui, que les entiers naïfs ne remplissent pas $\mathbb{N}$.