Parties au sens intuitif (Krivine)

Bonjour,
Je ne suis pas un as de la logique, mais je me lance quand même :)o. Par exemple, si le $\omega$ d'un certain modèle de ZF contient des entiers non standard, alors la collection des entiers standard de $\omega$ est une partie intuitive de $\omega$ (car tout entier standard est en particulier un entier), mais ce n'est pas un objet du modèle (par définition de $\omega$ : le plus petit ensemble qui contient $0$ et qui est clos par prise du successeur) et donc ce n'est pas non plus une partie de $\omega$ au sens du modèle.

Moi, j'ai compris ce paragraphe comme ça : soit $(U,R)$ un univers, i.e. un ensemble qui vérifie les axiomes de ZFC (où on interprète $\in$ par une relation binaire $R$ sur $U$).

Soit une partie $A$ de $U$. C'est un "ensemble intuitif". On dit que cet ensemble intuitif est un ensemble-de-l'univers s'il existe $a \in U$ tel que pour tout $x \in U$, on a $x \in A$ si et seulement si $x R a$.

Par exemple, les ordinaux de $U$ sont un ensemble intuitif : c'est l'ensemble des $\alpha \in U$ tels que patati patata. Par contre, il est bien connu que ce n'est pas un ensemble-de-l'univers, i.e. il n'existe aucun $a \in U$ tel que pour tout $\alpha \in U$ qui est un ordinal, $\alpha R a$.

Ca ne répond pas exactement à ta question, mais ça te donne peut-être des pistes pour construire toi-même des contre-exemples ?

Je pense que tous les problèmes qu'on a en théorie des ensembles viennent du fait qu'on ne sait pas très bien ce qu'on fabrique quand on "construit" $\mathscr P(A)$ à partir de $A$.

Je développe demain.

Sorry

Bon, alors voilà.
Je reprends les notations de Georges.
Soit $(U,R)$ un univers. Le fait que $(U,R)$ satisfait l'axiome des parties s'écrit
$$\forall x \exists y \forall z [zRy \leftrightarrow \forall t (tRz \to tRx)].$$

D'abord, dans le cas général il n'y a aucune raison pour que la relation binaire $R$ coïncide avec la relation d'appartenance au sens usuel. (Voir par exemple le modèle d'Ackermann, qui satisfait tous les axiomes de ZFC sauf l'infini, et dans lequel la relation $\in$ au sens du modèle est totalement artificielle).

On peut pallier cet inconvénient en décrétant que le modèle $(U,R)$ est transitif, au sens où :
1) $\forall x,y (xRy \land yRU) \to xRU$
2) $R$ est la restriction à $U$ de la "vraie" relation d'appartenance, si tant est que cela ait un sens.
Dans ce cas on travaille dans une théorie plus forte que ZFC, car la consistance de ZFC n'entraîne pas la consistance de ZFC + "Il existe un modèle transitif de ZFC".
Mais l'avantage de cette convention est qu'un modèle transitif est nécessairement standard, donc le contre-exemple fourni par Calli ne marche plus.

Sauf que cela ne règle pas le problème. En effet, prenons l'exemple $x = \omega$. On a tous une vision intuitive de ce qu'est l'ensemble des parties de $\omega$. Sauf que $U$, lui, n'a pas d'intuition, il raisonne mécaniquement.
Puisqu'on a AC, le $\mathscr P(\omega)$ de $U$ a un cardinal, mettons $\aleph_{\alpha}$. Mais tout le monde sait bien que $\alpha$ est versatile, au sens où personne n'est capable de donner sa valeur.
Dans la suite on identifie $\mathscr P (\omega)$ avec $2^{\omega}$, ou avec $\mathbb{R}$, ça revient au même.

Exemple 1 : si $\alpha = 1$, i.e. si HC est vraie, "tout le monde" sait bien qu'on peut rajouter $\aleph_{71}$ réels si ça nous chante, donc $\aleph_{71}$ parties de $\omega$. Dans ce cas on a "forcé" $\aleph_{71}$ objets à devenir des fonctions de $\omega$ dans $2$ donc on a "grossi" le $\mathscr P(\omega)$ jusqu'à obtenir un nouvel univers $(U', \in)$ qui n'a lui non plus aucune raison de correspondre à la collection de tous les ensembles au sens intuitif.

Exemple 2 : Si $\alpha = 94$, on peut collapser tous les cardinaux de $\aleph_2$ à $\aleph_{94}$ sur $\aleph_{1}$ en rajoutant un certain nombre de bijections. On obtient alors un univers $U''$ dont on aurait tendance à dire qu'il est plus étriqué que $U$. Là encore cette vision est fausse : $U''$ est plus gros que $U$, par exemple parce qu'il y a dans $U''$ une bijection entre $\aleph_8$ et $\aleph_{59}$, que $U$ ne "voit pas".

Bon, je ne suis pas sûr que tout cela soit très clair...

Thierry Poma a écrit:

Donc, pour l'instant l'univers U n'est ni plus ni moins qu'une collection d'objets que sont les ensembles.

Non, je crois que tu te trompes. $U$ est bien un ensemble, comme quand tu dis, en algèbre linéaire, qu'un espace vectoriel est un ensemble. Par contre, ensuite, à chaque fois qu'il parle d'ensemble, il faut comprendre "élément de $U$ en tant que tel" et non pas n'importe quel ensemble.

En tout cas, je pense que tu ne perds rien à considérer que $U$ est un ensemble, et que $\in$ n'est pas la relation d'appartenance habituelle, mais une relation particulière.

Oui, j'ai lu. Mais tu sais bien que ça ne veut rien dire, "collection"... Tu vois bien qu'il dit que ça se présente comme la théorie des groupes, etc. Si on te dit "soit une collection munie d'une méta-loi de composition qui vérifie blablabla" tu vas t'empresser de comprendre "ensemble", à la place, non ? La remarque qu'il dit après, c'est à peu près équivalent au fait de dire "on n'appelle pas des éléments d'un groupe des groupes, sinon on sait plus de quoi on parle ; du coup, les éléments du groupes, on ne va pas les appeler groupes". En l'occurrence, comme il passe son temps à parler des éléments de $U$ et quasiment pas de $U$, il dit qu'il vaut mieux réserver le mot "ensemble" aux éléments de $U$ (mais en vrai, ce sont tous des ensembles, au sens intuitif).

En tout cas, je te propose une interprétation qui me semble opérationnelle et qui, à mon avis, résout les doutes existentiels. En fait, je pense que si tu lis le livre comme je te suggère de le lire, mon interprétation ne devrait pas t'empêcher de (même plutôt t'aider à) suivre le début ; et si elle n'est pas bonne, viendra un jour où tu seras assez mûr pour en décider toi-même.

On n'a pas forcément besoin de parler de forcing, d'inaccessibles ou d'entiers non-standards pour comprendre la phrase de Krivine je pense. On peut faire beaucoup plus simple.

Prenons comme $\mathscr{U}$ le graphe figurant au début du chapitre 1, visible sur la deuxième image donnée par Thierry POMA. Alors $a$ a pour élément $d, f$ et $e$. La partie "intuitive" de $a$ ayant pour élément $d$ et $f$ ne correspond à aucun élément de $\mathscr{U}$. Ce n'est pas plus compliqué que ça.

Certes, $\mathscr{U}$ ne vérifie quasiment aucun des axiomes de Zermelo-Fraenkel. On a justement mis dans les axiomes plein de trucs qui permettent d'affirmer que telle ou telle partie "intuitive" et "simple" correspond à un élément de $\mathscr{U}$. C'est un peu l'objectif de ZF, au fond. Il faut donc, dans le cas où $\mathscr{U}$ est modèle de ZF, aller piocher dans des trucs plus complexes pour avoir des exemples de parties "intuitives" qui ne correspondent à aucun élément de $\mathscr{U}$.

En espérant avoir un peu éclairé le débat.

@Poirot : merci, je viens de rectifier.

@Poirot : à un moment donné tu écris "il me semble".
En fait il te semble bien : la consistance de ZF n'entraîne pas la consistance d'un univers de Grothendieck non trivial. C'est juste une modification de l'argument, toujours à base du second théorème d'incomplétude.
Un univers de Grothendieck c'est soit le vide (bof), soit $V_{\omega}$ (re-bof), soit $V_{\kappa}$ avec $\kappa$ inaccessible (pas bof).
L'axiome des univers de Grothendieck est : "tout ensemble est élément d'un univers de Grothendieck". En d'autres termes, il existe une classe propre d'inaccessibles.

Mais les spécialistes comme Max te diront que pour faire des catégories sérieusement il suffit de 2 ou 3 inaccessibles. Ce n'est pas moi qui dirai le contraire, je n'y connais rien en catégories.