Axiome d'extensionnalité

L'implication réciproque est une règle logique de base, il n'est donc pas nécessaire de l'ajouter dans l'axiome.

Plus généralement, pour toute formule $P(x,y_1,...,y_n)$, on a $A=B\implies (P(A,y_1,...,y_n) \iff P(B,y_1,...,y_n))$.

C'est une règle de logique, qui n'a rien à voir avec la théorie des ensembles ou l'axiome d'extensionnalité.

Bonsoir,

Ce que Maxtimax te précise ici est un schéma d'axiomes, en ce sens qu'il te fournit une infinité d'axiomes (implicites).

Thierry

@nom : l'axiomatique de la théorie des ensembles la plus usuelle est constituée de 2 catégories d'énoncés :
1) les axiomes du calcul des prédicats du 1er ordre avec égalité, qui sont communs à beaucoup d'autres théories.
2) les axiomes spécifiques à ZFC.
Il n'y a aucun mystère à cela, en dehors du fait que si on veut dominer un peu le sujet il faut se mettre à un moment ou à un autre les mains dans le cambouis... et ne pas oublier, juste après, d'utiliser du gel hydroalcoolique.

Visiblement, nom a mal pris le dernier message de Martial, il faut être sacrément susceptible quand même !

Compte-tenu de la qualité du latex de son premier post, peut-être qu'il a cru être injustement accusé de ne pas travailler assez? 8-)

@Martial : bonjour. J'espère que tu vas bien. Tu t'interroges pour peu de choses. Si "nom" avait voulu dissiper toute ambiguïté, il (au neutre) l'aurait formulé in extenso.

Mais est-il possible de faire réapparaître ses posts ayant obtenu des réponses? Martial j'ai fait une hypothèse très large car je n'ai pas vu ses posts antérieurs: que le 1er.

Bonjour.
Si cela peut servir à quelqu'un.
Ce qui suit est une partie d'un article de Wikipédia dont "l'entièreté actuelle" est ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d%27extensionnalit%C3%A9

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[ZF "contient" le calcul des prédicats égalitaire ]

(Début "citation" wikipedia
Extensionnalité et axiomes de l'égalité.
En calcul des prédicats (égalitaire), la propriété essentielle de l'égalité est la propriété de substitution, que l'on exprime sous la forme d'un schéma d'axiomes (une infinité d'axiomes, un par formule du calcul des prédicats ensembliste).
La propriété de substitution énonce que si deux objets sont égaux, toute propriété vérifiée par l'un est vérifiée par l'autre.
Il s'agit des propriétés exprimées dans le langage de la théorie,
et elles peuvent dépendre d'éventuels paramètres $a_1, ..., a_p$.
Plus formellement le schéma d'axiomes de substitution pour l'égalité est :

$ \forall a_1 ... \forall ap \forall x \forall y [x = y => (P(x,a_1, ... ,a_p) => P( y, a_1, ..., a_p))] $
pour toute formule $P$ ne contenant pas d'autre variable libre que $x, a_1, ..., a_p$.

(ce schéma d'axiomes, auquel il faut ajouter la réflexivité, $\forall x, ~ x = x$, axiomatise alors l'égalité, on en déduit en particulier la symétrie et la transitivité).

On voit ainsi que la réciproque de l'axiome d'extensionnalité
-si deux ensembles sont égaux, alors ils ont les mêmes éléments - est une propriété usuelle de l'égalité, un cas particulier du schéma que l'on vient d'énoncer :

$ \forall A \forall B [ A = B => \forall x (x => A <=> x => ]$

L'axiomatisation de l'égalité est une formalisation en logique du premier ordre de la définition de l'égalité de Leibniz :
deux objets sont égaux quand ils ont les mêmes propriétés, dit par contraposée, deux objets sont différents si une propriété permet de les distinguer.
(Fin "citation" wikipedia)