Axiome d'extensionnalité
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7 - Conclusion
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Bonjour,
Considérant ZF.
Dans l'axiome d'extensionnalité :
$\forall A \ \forall B \ \{ \ [ \ \forall x \ ( \ x \in A \Leftrightarrow x \in B \ ) \ ] \Rightarrow ( \ A = B \ ) \} $
Pourquoi n'est-ce pas un connecteur "$\Leftrightarrow$" à la place du connecteur "$\Rightarrow$" ?
Cordialement.
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Bonjour,
Considérant ZF.
Dans l'axiome d'extensionnalité :
$\forall A \ \forall B \ \{ \ [ \ \forall x \ ( \ x \in A \Leftrightarrow x \in B \ ) \ ] \Rightarrow ( \ A = B \ ) \} $
Pourquoi n'est-ce pas un connecteur "$\Leftrightarrow$" à la place du connecteur "$\Rightarrow$" ?
Cordialement.
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Réponses
C'est une règle de logique, qui n'a rien à voir avec la théorie des ensembles ou l'axiome d'extensionnalité.
Ce que Maxtimax te précise ici est un schéma d'axiomes, en ce sens qu'il te fournit une infinité d'axiomes (implicites).
Thierry
1) les axiomes du calcul des prédicats du 1er ordre avec égalité, qui sont communs à beaucoup d'autres théories.
2) les axiomes spécifiques à ZFC.
Il n'y a aucun mystère à cela, en dehors du fait que si on veut dominer un peu le sujet il faut se mettre à un moment ou à un autre les mains dans le cambouis... et ne pas oublier, juste après, d'utiliser du gel hydroalcoolique.
Cordialement.
Si j'ai un conseil à donner à nom c'est d'arrêter de fréquenter les forums de math et de se focaliser de préférence sur les forums de français... déjà pour apprendre le sens du mot "humilité".
Bon, j'arrête là sinon ça va me faire monter la tension, et c'est pas bon pour la santé !
Il semblait douter de nos réponses, alors je lui ai conseillé de consulter un cours de logique élémentaire.
Il a cru que je le traitais de branleur.
C'est mal me connaître : si j'avais vraiment voulu dire ça je l'aurais dit à haute et intelligible voix.
Si je ne l'ai pas dit c'est parce que je ne l'ai pas pensé un instant.
Finalement la communication c'est encore plus dur que la set theory...
Merci !!!
Si cela peut servir à quelqu'un.
Ce qui suit est une partie d'un article de Wikipédia dont "l'entièreté actuelle" est ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d%27extensionnalit%C3%A9
[ZF "contient" le calcul des prédicats égalitaire ]
(Début "citation" wikipedia
Extensionnalité et axiomes de l'égalité.
En calcul des prédicats (égalitaire), la propriété essentielle de l'égalité est la propriété de substitution, que l'on exprime sous la forme d'un schéma d'axiomes (une infinité d'axiomes, un par formule du calcul des prédicats ensembliste).
La propriété de substitution énonce que si deux objets sont égaux, toute propriété vérifiée par l'un est vérifiée par l'autre.
Il s'agit des propriétés exprimées dans le langage de la théorie,
et elles peuvent dépendre d'éventuels paramètres $a_1, ..., a_p$.
Plus formellement le schéma d'axiomes de substitution pour l'égalité est :
$ \forall a_1 ... \forall ap \forall x \forall y [x = y => (P(x,a_1, ... ,a_p) => P( y, a_1, ..., a_p))] $
pour toute formule $P$ ne contenant pas d'autre variable libre que $x, a_1, ..., a_p$.
(ce schéma d'axiomes, auquel il faut ajouter la réflexivité, $\forall x, ~ x = x$, axiomatise alors l'égalité, on en déduit en particulier la symétrie et la transitivité).
On voit ainsi que la réciproque de l'axiome d'extensionnalité
-si deux ensembles sont égaux, alors ils ont les mêmes éléments - est une propriété usuelle de l'égalité, un cas particulier du schéma que l'on vient d'énoncer :
$ \forall A \forall B [ A = B => \forall x (x => A <=> x => ]$
L'axiomatisation de l'égalité est une formalisation en logique du premier ordre de la définition de l'égalité de Leibniz :
deux objets sont égaux quand ils ont les mêmes propriétés, dit par contraposée, deux objets sont différents si une propriété permet de les distinguer.
(Fin "citation" wikipedia)
[size=x-large]([/size]
Et c'est suffisant pour prouver que si $u=v$ alors $v=u$: [small]supposant $u=v$, et vu que $u$ peut dire sans mentir $moi=u$, il suit que $v$ peut le dire sans mentir et donc $v=u$.[/small]
[size=x-large])[/size]
et on prouve que ça entraine que "u=v" équivaut à "u,v ont les mêmes propriétés".
Concernant la question du premier post, Poirot qui a répondu
avait parfaitement répondu, même si j'aurais plutôt écrit, personnellement :
mais ça revient au même pour tout être sensible et sérieux.