Démonstration avec epsilon

Bonsoir.

La proposition que tu écris : $\forall \varepsilon \ge 0 : (|a-b|\le 0 \Rightarrow a=b)$ est assez bizarre (le $\varepsilon$ ne sert à rien, et l'implication est évidente. De même, l'écriture suivante est fausse (par exemple pour $\varepsilon = 1$) :
$\forall \varepsilon \ge 0 : (|a-b|\le \varepsilon \Rightarrow a=b)$

Je suppose que tu veux démontrer
$(\forall \varepsilon \ge 0 \ |a-b|\le \varepsilon)\ \Rightarrow a=b$

Ça se démontre très bien "par l'absurde"; Mais il suffit de démontrer
$(\forall \varepsilon \ge 0, \ 0 \le x\le \varepsilon)\ \Rightarrow x=0$
En supposant $x\neq 0$, donc $x>0$, on montre qu'il existe des $\varepsilon>0$ pour lesquels $0 \le x\le \varepsilon$ est faux (par exemple $\varepsilon = \frac x 2$). Puis on conclut par contraposition.

Cordialement.

C'est plutôt : $(\forall \varepsilon \ge 0 ,\left|a-b \right| \le \varepsilon) \Rightarrow (a=b)$.

Bonsoir,
Même remarque que e.v. (que je salue)