Démonstration avec epsilon
Bonjour, j'essaie de démontrer la proposition suivante : ($ \forall \epsilon \ge 0 ,\ \left|a-b \right| \le \epsilon) \Rightarrow a=b$
J'ai eu l'intuition que c'est possible par absurde, mais je n'ai abouti à aucune contradiction, juste que $ 0 < \left|a-b \right| \le \epsilon$ .
Vos astuces sont largement appréciés.
J'ai eu l'intuition que c'est possible par absurde, mais je n'ai abouti à aucune contradiction, juste que $ 0 < \left|a-b \right| \le \epsilon$ .
Vos astuces sont largement appréciés.
Réponses
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Bonjour Ignotus
Essaye avec \( \varepsilon = \dfrac{|b-a|}2 \).
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonsoir.
La proposition que tu écris : $\forall \varepsilon \ge 0 : (|a-b|\le 0 \Rightarrow a=b)$ est assez bizarre (le $\varepsilon$ ne sert à rien, et l'implication est évidente. De même, l'écriture suivante est fausse (par exemple pour $\varepsilon = 1$) :
$\forall \varepsilon \ge 0 : (|a-b|\le \varepsilon \Rightarrow a=b)$
Je suppose que tu veux démontrer
$(\forall \varepsilon \ge 0 \ |a-b|\le \varepsilon)\ \Rightarrow a=b$
Ça se démontre très bien "par l'absurde"; Mais il suffit de démontrer
$(\forall \varepsilon \ge 0, \ 0 \le x\le \varepsilon)\ \Rightarrow x=0$
En supposant $x\neq 0$, donc $x>0$, on montre qu'il existe des $\varepsilon>0$ pour lesquels $0 \le x\le \varepsilon$ est faux (par exemple $\varepsilon = \frac x 2$). Puis on conclut par contraposition.
Cordialement. -
Bonjour Gerard , Oui c'etait une confusion dans le code Tex , j'ai corrigé la faute .
de plus j'ai aussi suspecté la veracité de la proposition , et ca semble que votre proposition est correcte notamment $(\forall \varepsilon \ge 0 \ |a-b|\le \varepsilon)\ \Rightarrow a=b$ . Merci ! -
C'est plutôt : $(\forall \varepsilon \ge 0 ,\left|a-b \right| \le \varepsilon) \Rightarrow (a=b)$.
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Directement : Prendre \( \varepsilon := 0 \).
e.v.
[ J'avais mal lu. J'ai une inhibition qui m'empêche de prendre \( \varepsilon := 0 \). ]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonsoir,
Même remarque que e.v. (que je salue) -
Pardon, c'est tellement gros que je ne l'avais pas vu.
La proposition intéressante est bien sûr : $(\forall \varepsilon > 0 ,\left|a-b \right| \le \varepsilon) \Rightarrow (a=b)$.
Ou bien : $(\forall \varepsilon > 0 ,\left|a-b \right| < \varepsilon) \Rightarrow (a=b)$.
Sinon, bien sûr, c'est trivial et ça ne vaut même pas d'être écrit. -
Bonjour, il semble que l'énoncé a été mal rédigé par le professeur, puisque parfois il nous demande de chercher les erreurs possibles en donnant des justifications bien sûr. Merci à vous.
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j'ai corrigé la faute .
Euuuu, tu as corrigé la coquille surtout. Mais vue la réponse d'ev, vaudrait mieux que tu fasses un edit et améliores ton premier post. Sinon, on va croire qu'elle voit des éléphants roses.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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