Plongement élémentaire et inaccessibles

Salut à tous,

Ces jours-ci j'ai un peu l'impression que tout le monde est mort, sur ce sous-forum. Pour essayer de me convaincre du contraire je vais (une fois n'est pas coutume) poser une question simple, sortant de mes délires philosophiques habituels.

Je lutte pour la preuve d'un lemme du Kanamori, page 57 de l'édition 2003. Je traduis (tout ce qui est entre parenthèses est de ma sauce).

Lemme : Soit $\kappa$ un cardinal inaccessible, et $R \subseteq V_{\kappa}$. Alors l'ensemble
$$\{\alpha < \kappa : \left \langle V_{\alpha}, \in, R \cap V_{\alpha} \right \rangle \prec \left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \}$$
est clos cofinal dans $\kappa$.

Preuve : Le fait que cet ensemble est clos est immédiat. (Là, je suppose qu'il faut dire "par le théorème de l'union de chaîne de Tarski").
Pour prouver qu'il est non borné, soit $\alpha < \kappa$ arbitraire. On construit une suite $(\alpha_n)$ d'ordinaux $< \kappa$, par récurrence, de la façon suivante :
On pose $\alpha_0 = \alpha$.
Si $\alpha_n$ est construit, on définit $\alpha_{n+1}$ comme étant le plus petit $\beta \geq \alpha_n$ tel que, dès l'instant que $y_1,...,y_k \in V_{\alpha_n}$ et que $\left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \models \exists v_0 \varphi[v_0,y_1,...,y_k]$ pour une certaine formule $\varphi$, il y a un $x \in V_{\beta}$ tel que $\left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \models \varphi[x,y_1,...,y_k]$.
(Là, je coince. Qu'est-ce qui me prouve l'existence d'un tel $\beta$ ? Il est clair qu'il faut utiliser le schéma de réflexion, mais vue la façon dont la preuve est rédigée on a l'impression que l'auteur veut traiter toutes les formules en même temps).
Je continue : Comme $\kappa$ est inaccessible, on a $|V_{\alpha_n}| < \kappa$ (OK), et donc $\alpha_{n+1} < \kappa$. (Là, pareil, je ne vois pas).
Finalement, on pose $\alpha = sup(\{\alpha_n : n \in \omega\})$. (On a encore $\alpha < \kappa$ car $\kappa$ est régulier).
Et on conclut par le critère de Tarski-Vaught (OK).