Plongement élémentaire et inaccessibles
Salut à tous,
Ces jours-ci j'ai un peu l'impression que tout le monde est mort, sur ce sous-forum. Pour essayer de me convaincre du contraire je vais (une fois n'est pas coutume) poser une question simple, sortant de mes délires philosophiques habituels.
Je lutte pour la preuve d'un lemme du Kanamori, page 57 de l'édition 2003. Je traduis (tout ce qui est entre parenthèses est de ma sauce).
Lemme : Soit $\kappa$ un cardinal inaccessible, et $R \subseteq V_{\kappa}$. Alors l'ensemble
$$\{\alpha < \kappa : \left \langle V_{\alpha}, \in, R \cap V_{\alpha} \right \rangle \prec \left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \}$$
est clos cofinal dans $\kappa$.
Preuve : Le fait que cet ensemble est clos est immédiat. (Là, je suppose qu'il faut dire "par le théorème de l'union de chaîne de Tarski").
Pour prouver qu'il est non borné, soit $\alpha < \kappa$ arbitraire. On construit une suite $(\alpha_n)$ d'ordinaux $< \kappa$, par récurrence, de la façon suivante :
On pose $\alpha_0 = \alpha$.
Si $\alpha_n$ est construit, on définit $\alpha_{n+1}$ comme étant le plus petit $\beta \geq \alpha_n$ tel que, dès l'instant que $y_1,...,y_k \in V_{\alpha_n}$ et que $\left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \models \exists v_0 \varphi[v_0,y_1,...,y_k]$ pour une certaine formule $\varphi$, il y a un $x \in V_{\beta}$ tel que $\left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \models \varphi[x,y_1,...,y_k]$.
(Là, je coince. Qu'est-ce qui me prouve l'existence d'un tel $\beta$ ? Il est clair qu'il faut utiliser le schéma de réflexion, mais vue la façon dont la preuve est rédigée on a l'impression que l'auteur veut traiter toutes les formules en même temps).
Je continue : Comme $\kappa$ est inaccessible, on a $|V_{\alpha_n}| < \kappa$ (OK), et donc $\alpha_{n+1} < \kappa$. (Là, pareil, je ne vois pas).
Finalement, on pose $\alpha = sup(\{\alpha_n : n \in \omega\})$. (On a encore $\alpha < \kappa$ car $\kappa$ est régulier).
Et on conclut par le critère de Tarski-Vaught (OK).
Ces jours-ci j'ai un peu l'impression que tout le monde est mort, sur ce sous-forum. Pour essayer de me convaincre du contraire je vais (une fois n'est pas coutume) poser une question simple, sortant de mes délires philosophiques habituels.
Je lutte pour la preuve d'un lemme du Kanamori, page 57 de l'édition 2003. Je traduis (tout ce qui est entre parenthèses est de ma sauce).
Lemme : Soit $\kappa$ un cardinal inaccessible, et $R \subseteq V_{\kappa}$. Alors l'ensemble
$$\{\alpha < \kappa : \left \langle V_{\alpha}, \in, R \cap V_{\alpha} \right \rangle \prec \left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \}$$
est clos cofinal dans $\kappa$.
Preuve : Le fait que cet ensemble est clos est immédiat. (Là, je suppose qu'il faut dire "par le théorème de l'union de chaîne de Tarski").
Pour prouver qu'il est non borné, soit $\alpha < \kappa$ arbitraire. On construit une suite $(\alpha_n)$ d'ordinaux $< \kappa$, par récurrence, de la façon suivante :
On pose $\alpha_0 = \alpha$.
Si $\alpha_n$ est construit, on définit $\alpha_{n+1}$ comme étant le plus petit $\beta \geq \alpha_n$ tel que, dès l'instant que $y_1,...,y_k \in V_{\alpha_n}$ et que $\left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \models \exists v_0 \varphi[v_0,y_1,...,y_k]$ pour une certaine formule $\varphi$, il y a un $x \in V_{\beta}$ tel que $\left \langle V_{\kappa}, \in, R \right \rangle \models \varphi[x,y_1,...,y_k]$.
(Là, je coince. Qu'est-ce qui me prouve l'existence d'un tel $\beta$ ? Il est clair qu'il faut utiliser le schéma de réflexion, mais vue la façon dont la preuve est rédigée on a l'impression que l'auteur veut traiter toutes les formules en même temps).
Je continue : Comme $\kappa$ est inaccessible, on a $|V_{\alpha_n}| < \kappa$ (OK), et donc $\alpha_{n+1} < \kappa$. (Là, pareil, je ne vois pas).
Finalement, on pose $\alpha = sup(\{\alpha_n : n \in \omega\})$. (On a encore $\alpha < \kappa$ car $\kappa$ est régulier).
Et on conclut par le critère de Tarski-Vaught (OK).
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Réponses
Par contre, ce que tu peux faire, c'est faire une liste $\lambda$-indexée, avec $\lambda < \kappa$ de toutes les formules $\varphi$ et paramètres $y_1,...y_k\in V_{\alpha_n}$. Pour chaque formule et liste de paramètres, tu prends un $x\in V_\kappa$ adapté, de rang $\mu < \kappa$, et comme tu n'as que $\lambda<\kappa$ formule + paramètres, le sup des $\mu$ est $<\kappa$: tu l'appelles $\beta$.
Non ? ça te donne au passage que $\alpha_{n+1}\leq \beta < \kappa$.
(désolé, je ne poste plus souvent sur ce sous-forum puisque ça fait un moment que je ne fais plus de logique à côté, donc j'essaie d'éviter de dire des bêtises :-D
mais toujours un plaisir de discuter avec toi, même quand j'en fais ! )
Maintenant que je lis ta preuve je me dis que Kanamori a pour ainsi dire pris le problème à l'envers.
P.S. 1 : Pour moi aussi c'est un plaisir de discuter avec toi. Et si c'est pour écrire des "bêtises" comme ci-dessus tu peux poster plus souvent dans ce sous-forum, lol.
P.S. 2 : Je ne vais peut-être pas me faire que des amis parmi les gens qui bossent avec toi, mais je regrette sincèrement que tu n'aies pas opté pour une carrière de logicien ou de settheorist. Mais bon, c'est ton choix, et les conseilleurs ne sont pas les payeurs...
Oui, si c'est écrit comme ce que tu as fait ici, c'est un peu prendre les choses à l'envers :-S
(Pour ton PS2 : avec mon background de TDE je peux frimer devant les topologues en réglant les problèmes de cardinaux B-)
Plus sérieusement je pourrai un jour, avec plus de recul peut-être, t'expliquer les raisons de mon choix )
J'ai vraiment traduit mot pour mot, pour moi ça sent le foutage de gueule....
Bien joué, le coup des topologues, yeah !!!
Pour les raisons de ton choix je n'en vois pour l'instant qu'une, mais très pragmatique : Boban m'a confié que les catégories étaient très à la mode en ce moment. La TDE, bof.
A ce sujet dans la dernière MAJ de mon chap 24 j'ai glissé une allusion aux univers de Grothendieck. Si tu as deux secondes pour y jeter un oeil, peux-tu me dire si je n'ai pas raconté trop de conneries ?
Je peux regarder !
Qu'est-ce que la TDE ? Puis-je jeter également un coup d’œil, en me précisant le lien ? Voici le texte extrait du livre, où la théorie des modèles est mise à contribution.
Amicalement,
Thierry
Martial: j'ai fait un ctrl+F Grothendieck dans ton chapitre 24 et je crois que la première occurrence a un problème de numérotation
Sinon je suis d'accord avec ce que tu dis, modulo un passage : sur Fermat-Wiles; je pensais comme toi avant, mais apparemment en faisant gaffe (et certes, personne ne s'est assis et n'a écrit les détails - mais en gros en se rendant compte qu'on utilise des trucs que Grothendieck faisait en toute généralité, mais pour des objets dénombrables seulement) on est "certain" que FW n'utilise pas de grands cardinaux. Cf. cette question MO, spécifiquement les réponses de David Roberts, Noah Snyder ( intéressante, même si elle est essentiellement un argument d'autorité), le commentaire de BCnrd sous la réponse de Pete L Clark.
En gros ce que BCnrd explique, c'est que, techniquement, Wiles fait des réfs à SGA/EGA qui utilise des univers, mais les énoncés utilisés, si tu les regardes, ne nécessitent pas lesdits univers, car ils sont moins généraux que la théorie que Grothendieck développe.
(BCnrd est un expert dans ce domaine et s'est longuement appesanti sur la preuve de Wiles)
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par là, sorry.
Pour le reste je te fais confiance. Et Dehornoy dit la même chose dans son livre, avec moins de détails techniques.
Je vais également modifier mon texte concernant Fermat-Wiles, sans rentrer dans les détails techniques.
Le lien de Max va me permettre de rassurer un pote à moi qui fait de la théorie des nombres à un très haut niveau et qui a sauté au plafond quand je lui ai dit (à tort, mais je ne le savais pas à l'époque) qu'il fallait sortir de ZFC pour démontrer Fermat.
Je pense qu'il faudrait remplacer "Indépendance" par "Plongement" ou "Sous-structure". Si un modérateur veut bien faire la modif, merci d'avance.
La volonté de Grothendieck était je pense avant tout d'éviter les "mal comprenants" (innocents de toute faute, je précise) qui tiraient (il y en a encore pas mal aujourd'hui, même si un peu moins) de l'anecdotique (dans le contexte) argument diagonal des conclusions totalement faramineuses et croyaient voir "une substantifique moelle transcendantale" dans le fait qu'il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles.
De cet écueil était né la verbosité "petite catégorie, etc" et même certains slogans "revendicateurs de remplacement" (des ensembles par les catégories au nom du fait qu'il n'y aurait soit disant pas d'ensemble de "tous les groupes", etc).
A vrai dire, c'est rien (à côté du COVID par exemple), mais il semble que la volonté de AG était que ses lecteurs le comprennent et passent "zéro seconde" de perte de temps dans cette impasse "pour philosophes".
Ils existent, font vivre un certain nombre de restaurants et bars à travers le monde, influencent parfois les couloirs de départements de philosophie et n'ont strictement aucune idée de la simplicité technique que la fin de ton message évoque.
Or je crois que Grothendieck avait (du fait de l'époque ou tout ceci était tout nouveau, avec la guerre entre 2 épisodes créateurs) avait pour souhait de ne pas les tromper, donc avait évacué les mirages de son oeuvre.