Quantification, une précision
Bonjour
Voici une question d'un exercice de manipulation des quantificateurs.
" Traduire en langage mathématique en utilisant des quantificateurs l'énoncé suivant puis former sa négation.
Si un entier relatif est un multiple de 2 alors c'est un multiple de 4".
Pour la première partie de la question je pensais à $ \forall n \in \mathbb{Z},\ (\exists k \in \mathbb{Z},\ n=2k) \Rightarrow (\exists \ell \in \mathbb{Z},\ n=4 \ell)$.
Un étudiant m'a proposé $ \forall n \in \mathbb{Z},\ \exists (k, \ell) \in \mathbb{Z}^2,\ (n=2k \Rightarrow n=4 \ell)$.
Je dirais que les deux sont corrects. Toutefois la version 2 m'a dérangé sur le coup. Après réflexion j'ai dit en classe qu'elle était juste.
Toutefois en y réfléchissant j'ai eu le souvenir d'une lecture de logique mais je n'ai pas retrouvé la source. Il me semblait avoir lu que l'implication $(2=0) \Rightarrow (1=1)$ était logiquement a priori valable ... mais que pour éviter la perte du sens donné usuellement à une implication dans une démonstration usuelle en mathématique elle n'était pas considérée syntaxiquement correcte dans le langage de la logique. Dans mon souvenir "on" imposait dans ce langage de toujours quantifier au sein d'une implication... mais mon souvenir reste vague.
Quelqu'un saurait m'éclairer sur ce point ?
Merci.
Sylvain.
Voici une question d'un exercice de manipulation des quantificateurs.
" Traduire en langage mathématique en utilisant des quantificateurs l'énoncé suivant puis former sa négation.
Si un entier relatif est un multiple de 2 alors c'est un multiple de 4".
Pour la première partie de la question je pensais à $ \forall n \in \mathbb{Z},\ (\exists k \in \mathbb{Z},\ n=2k) \Rightarrow (\exists \ell \in \mathbb{Z},\ n=4 \ell)$.
Un étudiant m'a proposé $ \forall n \in \mathbb{Z},\ \exists (k, \ell) \in \mathbb{Z}^2,\ (n=2k \Rightarrow n=4 \ell)$.
Je dirais que les deux sont corrects. Toutefois la version 2 m'a dérangé sur le coup. Après réflexion j'ai dit en classe qu'elle était juste.
Toutefois en y réfléchissant j'ai eu le souvenir d'une lecture de logique mais je n'ai pas retrouvé la source. Il me semblait avoir lu que l'implication $(2=0) \Rightarrow (1=1)$ était logiquement a priori valable ... mais que pour éviter la perte du sens donné usuellement à une implication dans une démonstration usuelle en mathématique elle n'était pas considérée syntaxiquement correcte dans le langage de la logique. Dans mon souvenir "on" imposait dans ce langage de toujours quantifier au sein d'une implication... mais mon souvenir reste vague.
Quelqu'un saurait m'éclairer sur ce point ?
Merci.
Sylvain.
Réponses
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Il n'y a pas de "perte de sens"; et cette implication est tout à fait syntaxiquement correcte. Si, avant d'écrire une implication $P\implies Q$, on devait vérifier que $P$ est vraie, premièrement, l'implication perdrait tout son sens, et deuxièmement, on ne s'en sortirait pas.
(dirais-tu que $\forall x, (x\geq 0 \implies \exists y, y^2= x)$ n'est pas syntaxiquement correcte sous prétexte que en $x=-1$ elle devient $(-1\geq 0 \implies \exists y, y^2=-1$ ??)
On quantifie où on veut, tant que les phrases sont bien formées.
En particulier la solution de ton étudiant ne convient pas: elle signifie "pour tout entier $n$, il existe deux entiers $k$ et $l$ tels que si $n=2k$ alors $n=4l$"; mais cette phrase-ci est vraie (contrairement à celle qui doit être formalisée). En effet si tu me donnes un entier $n$, je peux te trouver un $k$ tel que $n\neq 2k$, et alors je prends $l=0$ et effectivement, $n=2k\implies n =4l$: la phrase est vraie !
La solution à laquelle tu pensais est, elle, correcte. -
$\exists x\in \N ,(A(x) \Rightarrow
$ est en fait équivalent à $(\forall x\in \N, A(x)) \Rightarrow B$ en logique classique. (via par exemple l'équivalence entre $P\Rightarrow Q$ et $(\neg P) \vee Q$). Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci pour vos réponses. Tout est clair.
Surpris par la réponse et focalisé sur mon histoire de quantificateur et de formalisme je n'ai pas "vu" que la proposition de l'élève était vraie contrairement à la phrase à traduire. Comme souvent, quand on fixe son attention sur un point au détriment d'embrasser le tout on s'ouvre à l'erreur (Descartes avait tellement raison).
Encore merci.
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