Cardinaux Mahlo

Si je comprends bien, l'idée est la suivante:

On suppose $\kappa$ $\alpha$-inaccessible. En particulier, pour tout $\beta<\alpha$, $\kappa$ est limite de $\beta$-inaccessibles. Je regarde l'ensemble des gens en dessous de $\kappa$ qui sont, pour tout $\beta<\alpha$, limites de $\beta$-inaccessibles, i.e. $S= \{ x <\kappa\mid \forall \beta <\alpha, x$ est limite de $\beta$-inaccessibles $\}$.
L'énoncé est qu'il est unbounded. Je pars de $x<\kappa$, je prends un $1$-inaccessible au-dessus de $x$ ($<\kappa$), puis un $2$-inaccessible, etc. J'obtiens une certaine limite $x_1$. Je recommence, mais au-dessus de $x_1$. J'obtiens $x_2$. Je recommence, mais au-dessus de $x_2$, etc., j'obtiens une suite $(x_n)_{n\in\omega}$ qui vérifie: pour tout $n$, $x_n<\omega$, et $x_{n+1}$ est une limite de $x_{n,\beta}, \beta <\alpha$, où $x_{n,\beta}$ est $\beta$-inaccessible

(à chaque étape, on peut prendre la limite le long de $\alpha$ car $\alpha < \kappa$ et $\kappa$ est régulier, c'est le "by regularity")

Alors $x_\infty := \sup_n x_n$ est évidemment entre $x$ et $\kappa$, et il est dans $S$ (il est dans $S$, car à $\beta$ fixé, $\{(n,\beta), n\in\omega\}$ est cofinal dans $\omega\times \alpha$ ordonné lexicographiquement)

Le "rotating through" machin vient de ce qu'on voit $\alpha$ comme un "cercle" et dès qu'on a fait un tour on revient à $0$. La construction revient alors à faire $\omega$ tours.