Démonstration basique L1

Mr_Propre_
Mr_Propre_
dans Fondements et Logique
Bonjour, je n'arrivais pas à envoyer le message j'ai donc fais une capture.111358

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ton message ne s'envoie pas certainement car celui-ci contient un caractère non reconnu sur le forum. Pour écrire en $\LaTeX$ sur le forum il te suffit d'écrire tes formules entre dollars. Si tu cherches à apprendre le $\LaTeX$ il y a une multitude de ressources en ligne. Si tu veux savoir comment écrire telle ou telle formule écrite sur le forum, il te sufft de faire un clic droit dessus -> Show maths as -> TeX Commands.

    Concernant ta première question "la négation de $A \subset B$ est $A \subset \text{non}(B)$ ?" la réponse est non, ce qui invalide le reste de ton raisonnement. Pour t'en convaincre, tu peux commencer par faire un dessin, un patatoïde, un diagramme, bref la représentation visuelle qui te sied le plus. Tu dessines une grosse patate contenant deux patates $A$ et $B$, et tu "vois" que dire que la patate $A$ n'est pas entièrement incluse dans la patate $B$ ne veut pas dire la même chose que la patate $A$ est incluse dans le complémentaire de $B$, $A$ et $B$ peuvent tout de même avoir des éléments en commun ! Ensuite on peut décortiquer rigoureusement ce qu'est cette négation.

    Tout d'abord une remarque, la notation $\text{non} A$ n'est pas très conventionnelle, tu parles sûrement du complémentaire de $A$ dans un ensemble plus gros qui est implicite dans ton message. Si ce n'est pas ça il faut le dire tout de suite.

    Ta phrase "$A \subset B$ se traduit par $x \in A \Rightarrow x \in B$" n'est pas correcte formellement. $A \subset B$ signifie $\forall x, (x \in A \Rightarrow x \in B)$. En prenant la négation, on voit que $\text{non}(A \subset B)$ veut dire $\exists x, \text{non}(x \in A \Rightarrow x \in B)$. Si $P$ et $Q$ sont des formules, alors la négation de $P \Rightarrow Q$ est $P \text{ et } \text{non} Q$. Finalement, la négation de $A \subset B$ est $\exists x, (x \in A \text{ et } x \not \in B)$.

    Revenons à ton problème initial. Je ne pense pas qu'un raisonnement par l'absurde ait grand intérêt ici (on pourrait faire la démonstration avec, mais on "sent bien" que c'est inutile ici), tu peux procéder directement par double implication.

    Je t'aide à démarrer : On suppose que $A \subset B$ et on veut montrer que $\text{non} B \subset \text{non} A$. On prend donc $x \in \text{non} B$ et il reste à montrer que $x \in \text{non} A$, es-tu d'accord ? Si oui, je te laisse continuer.
  • Dom
    Dom
    J’ajoute une astuce pour les messages qui ne passent pas.
    Il suffit parfois d’écrire un message bidon du style « message » puis de le modifier en collant tout le texte qui ne passait pas avant.
    En général ça passe quand même : seuls quelques caractères peuvent être étranges mais le texte est non refusé par le site.
  • Mr_Propre_
    Mr_Propre_
    Bonjour,
    l'énoncé est la suivante: Soient A,B,C des parties d'un ensemble E: démontrez les affirmations suivantes (donc on est bien dans le complémentaire et j'écrivais nonB car je n'arrive pas à faire B barre mais je vais apprendre Latex c'est bien plus pratique )

    J'ai très bien compris pourquoi mon raisonnement de la négation de l'inclusion est fausse je vous remercie.

    Par raisonnement direct nous pourrions utiliser la contraposée ?
    Nous savons que :
    $A \subset B$ signifie $\forall x, (x \in A \Rightarrow x \in B)$ donc par contraposé: $\forall x, (x \in \text{non}(B) \Rightarrow x \in \text{non}(A))$

    J'ai l'impression que c'est trop simple il doit y avoir une erreur et je n'ai pas utiliser de double implication...

    J'aimerai tout de même utiliser un raisonnement par l'absurde car le prof a donné une correction par l'absurde que j'ai du mal à comprendre.

    Voici sa correction mot pour mot:
    $ \Rightarrow $ Supposons que $A \subset B$ cad $\forall x \in A, \in B$. Soit $x \in \text{non}(B)$, cad $x \notin B$. On veut montrer que $x \notin A$.
    Par l'absurde: si $x \in A$, alors $x \in B$ par l'hypothèse $A \subset B$; ce qui est en contradiction avec $x \notin B$. Donc, $x \notin A$.
    $ \Leftarrow $ Supposons $nonA \subset nonB$ cad $ \forall x \notin B, x \notin A$. Soit $x \in A$, on veut montrer que $x \in B$. On utilise le meme raisonnement par l'absurde. Si $x \notin B$ alors $x \notin A$ car $nonA \subset nonB$; ce qui est en contradiction avec $x \in A$. Donc $x \in B$

    Pouvons nous écrire autrement:

    Raisonnons par l'absurde et supposons $A \subset B$ $ \Rightarrow $ non($nonB \subset nonA$)
    Autrement dit: $\forall x, (x \in A \Rightarrow x \in B)$ $ \Rightarrow $ $\exists x, (x \in non B \text{ et } x \in A)$ ce qui est contradictoire. On applique le meme raisonnement pour le retour.

    J'ai l'impression de dire des sottises je m'en excuse.
  • Poirot
    Poirot
    Ta première démonstration fonctionne très bien ! Bon tu as seulement montré l'implication $A \subset B \Rightarrow \text{non}(B) \subset \text{non}(A)$ par contre.

    Ta proposition de démonstration par l'absurde n'est pas correcte par contre. Pour montrer $P \Rightarrow Q$, il ne suffit pas de montrer que $P \Rightarrow \text{non}(Q)$ est fausse ! À nouveau si tu veux montrer $P \Rightarrow Q$ par l'absurde, il faut montrer que $\text{non}(P \Rightarrow Q) = (P \text{ et } \text{non}(Q))$ est fausse.
  • Mr_Propre_
    Mr_Propre_
    La contraposée est une équivalence non ? Donc pas besoin de prouver les deux implications ? (je me rappelle que pour prouver n² pair alors n pair il fallait juste faire une contraposée).

    Et bien oui ! il faut que je considère la négation pour la proposition entière et non que pour Q c'est évident après coup !
    C'est la premières fois que je travaille les ensembles et le raisonnement par l'absurde donc je galère désolé :)
    Je crois savoir ou je pêche c'est que je considère que P implique nonQ est équivalent à P et nonQ or nous vérifions vite que c'est faux avec une table de vérité...

    Donc reprenons:
    Soit P =$A \subset B$ autrement $\forall x, (x \in A \Rightarrow x \in B)$.
    Soit nonP= $\exists x, (x \in A \text{ et } x \in nonB)$
    Soit Q= $\text{non} B \subset \text{non} A$ autrement $\forall x, (x \in nonB \Rightarrow x \in nonA)$.
    Soit nonQ = $\exists x, (x \in non B \text{ et } x \in A)$

    Je dois supposer que $\text{non}(P \Rightarrow Q) = (P \text{ et } \text{non}(Q))$ soit vrai.
    Si $x \in A$ alors $x \in B$ d'après mon hypothèse P. Or il existe un x appartenant à nonB et à A d'après mon hypothèse nonQ. --> Contradiction

    Le retour: je démontre par l'absurde que $Q \Rightarrow P$
    Supposons vrai sa négation cad $non(Q \Rightarrow P)$ = $(Q \text{ et } \text{non}(P))$
    Si $x \in nonB$ alors $x \in nonA$ d'après mon hypothèse Q. Or il existe un x appartenant à A et à non B --> Contradictoire

    Ouf dites moi que tout ceci est juste ? j'ai l'impression que cela resemble à la correction du professeur.
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour

    $P \Rightarrow Q$ a pour contraposée $non Q \Rightarrow nonP$. Il n'y a toujours qu'un sens.
    Quand tu dis "n² pair alors n pair", tu es dans un raisonnement "si ... alors ..." qui n'est qu'un seul sens, le sens direct.
    Pas d'équivalence.

    Tu as prouvé $A\subset B \Rightarrow \bar B \subset \bar A$.
    Il reste à prouver l'autre sens : $\bar B \subset \bar A \Rightarrow A\subset B$.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • Mr_Propre_
    Mr_Propre_
    Mais bien sûr l'équivalence est présente que pour l'implication ! je vous remercie ! ça semble si évident quand vous le dites :)

    Je pense enfin comprendre comment fonctionne tout ça je me sens bien plus à l'aise !
  • christophe c
    christophe c
    Poirot: petite coquille de ta part dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2113498,2113820#msg-2113820 (ça suffit largement, ce n'est juste pas nécessaire).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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