1er théorème d'incomplétude et dictionnaire

Non, le théorème que tu évoques n'a jamais eu d'audience historique et relève de la philosophie. Cr'est celui qui dit:

"même si T me donne une preuve de la consistance de T, je ne pourrai pas en être convaincu"

Cet argument, parfaitement valable, n'a hélas, par sa subtilité pas passé le niveau de bruit de l'époque. Et pas longtemps au même moment, Godel découvrait la même chose à haut bruit, à savoir

"si T me donne une preuve de la consistance de T, je sais même carrément que T est contradictoire"

Il existe une même différence entre le fait que tout jeu est déterminé prouvé par:

à chaque coup $x$, la stratégie $f_x$ qui le bat en répondant $f_x(x)$ me donne en fait une seule et même stratégie

$$g: x\mapsto f_x(x) $$

qui bat tout le monde, donc "philosophiquement", je sais que je ne recontrerai jamais de jeu non déterminé

plutôt que prouvé par les différentes preuves habituelles bien connues

:-D j'en sais quelque chose puisque j'ai prouvé seul Godel sans savoir que ça existait et prouvé d'autres trucs en utilisant la philosophie pour intuiter puis en cherchant "techniquement" une preuve formelle SEULEMENT ENSUITE (les passages de 1 à 2) ci-dessus (je ne me lasserai jamais du mélange de ridicule et de comique décontractant que ça a de se vanter)

Si vous avez un bouquin où les abréviations suivantes sont convenues au début du livre (étant donné une chaîne de caractères S):
"DS":= "la chaîne SS apparaît dans le livre" (deux copies de ladite chaîne S mise côte à côte);
"NS" := "le contraire de S est vrai"

Alors le livre en question ne contient pas toutes les phrases vraies, ou alors il en contient une fausse (NDND n'apparaît pas dans le livre ou bien elle est fausse).
Source: Smullyan.

@axexe : la polysémie est certes gênante mais ce n'est pas le seul obstacle. On pourrait très bien inventer une langue dans laquelle chaque mot écrit aurait une signification et une seule, mais cela ne résoudrait pas le problème.

@Jean-Louis : sorry, j'avais mal compris ta question.
A mon sens, toute langue possède forcément des termes primitifs. La rédaction d'un dictionnaire est un exercice un peu idiot : l'auteur sait très bien qu'il y a plein de mots qui ne peuvent pas être définis par des mots plus simples, mais comme la règle du jeu stipule que tout mot écrit doit être défini quelque part, il contourne le problème en employant des définitions circulaires.
En fait, c'est un peu comme si tu voulais écrire toutes les maths en démontrant tout mais sans poser un seul axiome.

Pour rebondir et parler d'autre chose à laquelle je me suis intéressé.

Pour les dictionnaires et le langage, il semble évident qu'il y aura une multitude de cycles dans le graphe dirigé qui a pour sommets les mots et des flèches allant d'un mot à ceux de sa définition....donc énormément de définitions récursives infondées.

J'avais donc il y a quelques années imaginé une langue où les définitions deviennent inutiles car la syntaxe d'un mot contient sa propre définition.
La sémantique codée dans la syntaxe...encore du Gödel ça !

On peut imaginer une structure arborescente ensembliste. Un arbre, c'est un graphe connexe sans cycles...ça tombe bien !

Ainsi un mot $Mx$ où $M$ est un mot et $x$ est une lettre (ou une syllabe) désigne une précision de la notion désignée par $M$.
On choisi $x$ de sorte à produire des analogies avec d'autres notions de l'arborescence.

Exemples nuls mais qui parlent. Je donne la traduction entre parenthèse...c'est pas une définition :

B (le corps humain)
BA (la tête)
BAN (le nez)
BANO (la narine)
BI (le tronc)

et on peut faire des analogies entre les branches de différents mots. Par exemple :

C (une maison)
CA (le toit de la maison)
CAN (la cheminée)
CANO (le trou de cheminée...LOL)

Je sais, c'est un peu ambitieux de se lancer dans cette idée. Mais c'est une de mes utopies de trouver un langage universel reposant sur des mathématiques consistantes. On sait que les mathématiciens se regardent souvent le BINO...devinez ce que c'est ?;-)

Le but étant d'avoir un langage simple, sans avoir recours à des définitions et compréhensible à tous niveaux de complexité.

Si on voit le mot CANORIMAPUK....seuls les deux ou trois grands experts du ramonage comprendront...mais les autres peuvent comprendre qu'il s'agit d'un truc à propos du trou de cheminée....c'est déjà pas mal...non ? LOL

Quel est la longueur des mots dans cette langue ?

Il y a environ 32000 mots en français et on peut en considérer 100000 si on évite les doubles sens.
Des mots d'au plus 5/6 lettres suffiraient largement à tout couvrir puisque $20\times 5\times 20\times 5\times 20=200000$.

Ce serait marrant de générer automatiquement cette langue à partir d'un dictionnaire en les formant à partir des définitions.

Merci @rondo...je ne connaissais pas ces langues. Le "Ro" semble être le plus proche de ce que j'imaginais.

@ Jean-Louis.

Pas d'ac. Si tu prends le dictionnaire minimal

ensemble : collection.
collection : ensemble.

Tous les mots sont définis.

Même chose avec

mot : mot.

Plus petit, c'est le dictionnaire vide.


Quine dit qu'il y a au moins un mot non défini dans au moins une définition, ou bien il existe un cycle qui aboutit à une autoréférence.

e.v.

Une arnaque ? Où ça une arnaque ?

On est dans le forum de logique oui ou non ?

amicalement,

e.v.

Faut se rappeler que la logique n'est pas une arnaque, mais l'étude des arnaques (au sens étendue de "ce qui va faire changer, par un texte, quelqu'un d'avis, Dieu et la Nature compris")

Exemple soit $X$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $*$ (on notera $pq$ au lieu de $p*q$; rien n'est supposé sur $*$ pour l'instant et surtout pas l'associativité).

Si $A$ est une partie de $A$ on note $T(A)$ l'intersection de toutes les parties de $B$ de $X$ contenant $A$ et telles que pour tous $x,y\in X$, si $x\in B$ et $x*y \in B$ alors $y\in B$.

Soient $S:= \left \{ (x(yz))((xz)(yz)) \mid x,y,z \in X \right\}$ et $K:= \left \{ x(yx) \mid x,y \in X \right \}$.

exo: soit $Y$ une partie de $X$ contenant $S\cup K$ et $a,b\in X$. Montrer que $b \in T \left (Y \cup \{a\} \right)$ si et seulement si $ab \in T(Y)$.

A suivre ...