Égalité cardinale

Max, je crois que tu es allé un peu trop vite en affirmant que $\kappa$ est fortement limite. (C'est de ma faute, je ne te laisse jamais 5 minutes pour faire ce que tu as à faire).
Ton raisonnement à la ligne 3 te permet seulement d'affirmer que $2^{\mu} \leq \kappa$.

Par exemple sous HGC tu as que si $\kappa$ est régulier, alors $\lambda < \kappa \Rightarrow \kappa^{\lambda}= \kappa$, donc aussi $\kappa^{< \kappa} = \kappa$.

D'ailleurs c'est ça qui m'a foutu dedans : j'avais lu dans un cours un truc du genre : "il est clair que $\kappa^{< \kappa}= \kappa$ puisque $\kappa$ est régulier. Et dans ma tête j'en avais fait une généralité.
Problème : c'était dans un cours sur le forcing, et comme tu le sais ça ne coûte rien de supposer que le ground model satisfait HGC.
D'où ma méprise.

Conclusion : la propriété $\kappa^{<\kappa} = \kappa$ est située quelque part en dessous de inaccessible. On pourrait appeler ça un cardinal semi-inaccessible.

@Tous deux : Dans toute la suite je note $H_{\kappa}$ l'hypothèse $\kappa^{<\kappa} = \kappa$.
Merci Thierry pour ce lemme 5.10, maintenant on sait quelle est la force de $H_{\kappa}$.

Le plus pire (comme dit un de mes potes), c'est que toutes ces choses sont écrites en toutes lettres dans mon cours : chap 20, pages 32 et suivantes. Je viens de m'en rendre compte, c'est vous dire à quel point j'ai l'esprit clair en ce moment...

Max a sûrement raison, je vois mal comment on pourrait démontrer dans ZFC qu'il existe un cardinal $\kappa$ qui vérifie $H_{\kappa}$. (A part $\aleph_0$, évidemment).
C'est donc que l'axiome $\exists \kappa \geq \aleph_1, H_{\kappa}$ est une sorte d'espèce de genre de style d'hypothèse de forte cardinalité non encore répertoriée, lol.

@Christophe : merci pour cette précision. Ils ont un nom, ces $H_a$ ?

@Tous : je viens de réaliser qu'en fait dans mon cours je démontre moins que Devlin. Je suppose HGC pour prouver que $\lambda < cf(\kappa) \Rightarrow \kappa^{\lambda}= \kappa$.

Du coup, Thierry, au risque d'abuser, pourrais-tu nous scanner le lemme 5.9 et sa preuve ?

@Poirot : merci pour le doc.

@Christophe : ce que Woodin appelle $H_{\kappa}$ dans cette histoire, ce n'est pas du tout un cardinal. C'est simplement l'ensemble de tous les ensembles qui sont "héréditairement de cardinal $\kappa$" ou, ce qui revient au même, dont la clôture transitive a une taille $< \kappa$.

Ainsi, $H_{\omega} = V_{\omega}$, et $H_{\omega_1}$ c'est le monde où "tout est dénombrable", et c'est aussi le premier argument qui tombe sous la main pour prouver que l'axiome des parties n'est pas redondant avec le reste de ZFC.

Je me souviens d'avoir lu un papier de Woodin où il disait en gros : "la théorie de $H_{\omega}$ c'est le taf des arithméticiens, la théorie de $H_{\omega_1}$ est pour ainsi dire torchée si on impose DP, et il va maintenant falloir s'attaquer à $H_{\omega_2}$ pour y voir plus la clair, avec la $\Omega$-logique, la $\Omega$-conjecture et toute l'artillerie lourde qui va avec".
Il y a aussi un papier de Patrick Dehornoy : "Progrès récents sur l'hypothèse du continu", qui est une sorte de vulgarisation avancée des travaux de Woodin.