Apprendre la logique (débutant)

Que voudrais-tu que l'implication soit, si ce n'est un connecteur ?

Bizarre :
J’y ai vu « connecteur $C_5$, « implique », et il dit bien que $\rightarrow$ connecte bien $A$ à $B$.

Je suis très novice également.

Ok c’est à partir de 48minutes du coup.
Je comprends mieux ta question.

Les théorèmes d'incomplétude ne nécessitent pas "d'apprendre la logique mathématique". Ils nécessitent de comprendre quelques philosophies simples sur la science. Je me mets à ta dispo dans les prochains jours si tu veux.

Ca ne t'interdit pas d'apprendre la logique bien évidemment. Mais je dirais que tu auras plus envie de l'apprendre APRES avoir ingéré les th d'incomplétude.

$\vdash$ (trouvé sur http://detexify.kirelabs.org/classify.html).

XV a écrit:

Question 1 : le premier axiome de logique (A1) dit Avec les tables de vérité, j'ai trouvé pour cette relation que des "V". Je ne comprends pas où se trouve mon erreur de raisonnement.

Pourquoi la considérer comme vraie si je peux la justifier avec les tables ?

Je simplifie:
la règle du jeu de l'amont de tout ça est la suivante: on a un ensemble d'axiomes et une seule règle (je simplifie) qui dit qu'ayant prouvé A=>B et ayant prouvé A, on peut prétendre qu'on a prouvé B

Dans tout ça, les tables de vérité n'ont en quelque sorte "aucune importance". Enfin... si tu n'avais pas trouvé que des "vrai" ta situation serait pimentée, puique tu aurais un axiome et à côté, tu aurais un modèle (n'importe quelle ligne où tu trouves faux dans la TV) où il est faux.

Cette explication que je te donne peut être associée au couple de mots (syntaxe, sémantique) si tu veux googler.



Pour ta question2, faut que je regarde la vidéo que tu y évoques.

Oui à toutes tes questions du jour.

Le théorème chinois (ici sous sa version efficace pour le contexte) te dit:

$(a,b,c,d) \mapsto $ la suite finie $u$ telle que $\forall n\leq d: u_n = $ le reste de $a+bn$ modulo $c$

est surjective de $\N$ sur l'ensemble des suites finies dont les termes sont des entiers.

@Xavier Var : je reprends les notations et la philosophie de Christophe.
Soit $T$ la théorie constituée des axiomes d'Euclide (que je ne connais pas par coeur).
Soit $A$ l'axiome des parallèles.
Tu fais tourner deux machines en même temps. A la première tu demandes une preuve $T$-certifiée de $A$. Idem pour la deuxième avec $non(A)$.
Et tu vas voir que tes deux machines vont boucler indéfiniment.

Bon, d'accord, il va te falloir vivre très très vieux pour t'en apercevoir, mais c'est un détail, et ça permet de comprendre l'indécidabilité de l'axiome des parallèles.

Comme d'habitude en maths, une expression désigne sa valeur.

Par contre, il y a un flou artisitique incorrect, mais pratiqué en ce qui concerne les phrases.

Si on adopte le point de vue rigoureux une phrase a deux valeurs possibles celles qui vivent dans $\{vrai; faux\}$. Dans ce cas,

$$(A=B)=(A\iff $$

Par contre, si on est tenté de regarder une phrase comme la suite de signes qui la composent, l'égalité est matérielle (même suite de symboles), alors que $A\iff B$ continue de désigner l'égalité par valeurs.

Je te passe toutes les situations intermédiaires où par exemple, on va considérer que

Mais "dans les petites classes", il vaut mieux, étant supposé acquis le signe "=>" (je l'abrège par $\to$ pour le latex) dire que:

$$(A\iff := ((A\to \ et\ (B\to A))$$

Dans mon message, je ne t'ai parlé de RPA QUE pour te dire qu'il n'était pas évoqué.

(1) Tu as plusieurs logiques célèbres . La plus faible est la linéaire et la plus forte est la classique.

(2)Ces notions de logiques sont syntaxiques, c'est à dire qu'on parle de règles du jeu de preuves (comment reconnaitre un texte qui est une preuve d'un texte qui ne l'est pas, un texte étant une suite de suites de signes)

(3) Par ailleurs, tu as ce qu'on appelle "la sémantique" (qui s'occupe des "modèles des phrases"). Selon la logique que tu as envie d'utiliser les sémantiques sont différentes.

(4) Tes "très chères" tables de vérité sont tout bêtement des tableaux qui permettent de lister TOUS LES MODELES d'un coup d'une phrase dans le contexte où tu utilises LA LOGIQUE CLASSIQUE. Donc retisn bien qu'avec des TV, tu ne fais que de la logique claissique et le RPA est embouteillé dedans sans même que tu aies quelque chose à faire

(5) Les liens entre syntaxe et sémantique sont donnés par des théorèmes dits de complétude.

(6) Par exemple, pour la logique classique, il dit que si toutes les cases de ta phrase dans la TV sont labellisées vraies alors il existe une preuve en logique classique de ta phrase.

(7) je répète donc : si tu veux me poser des questions sur le RPA, ne me parle surtout pas de TV puisque ça n'a rien à voir: (a) c'est de la sémantique et (b) qui ne concerne que la logique classique.

(8) Le RPA est un AXIOME qui permet, quand il est ajouté à la logique INTUITIONNISTE d'obtenir la LOGIQUE CLASSIQUE. Autrement dit, pour toute phrase $P$ :

(9) A partir de ces précisions, relis ta question, relis ma réponse, et redemande-moi ce que tu veux.

Bon, effectivement ... J'essaie de te décrire les choses :

1/ Définition: un texte est une suite finie de phrases

2/ Tout texte est une preuve

3/ Extraction des hypothèses d'une preuve :

3.1/ La première phrase du texte est obligatoirement une hypothèse
3.2/ Quand tu passes d'une phrase X à la suivante Y dans ton texte, tu dois admettre que (X=>Y) est une hypothèse, ou si tu veux tu as le droit de dire que Y est une hypothèse et que tu ne l'as pas inféré de la phrase précédente.

4/ C'est la dernière phrase du texte que l'on considère comme prouvée à partir des hypothèses du texte.

5/ Un axiome est une hypothèse parmi d'autres dans un texte.

6/ Définition: une phrase P est dite prouvable dans une théorie T quand il existe au moins une preuve de P dont toutes les hypothèses sont dans T

Par exemple: $C$ est prouvable dans la théorie $\{A; A\to B; B\to A; B\to C\}$. Je te laisse trouver une preuve.


7/ Remarque: tu n'as donc pas besoin de "donc", puisqu'il est tacite d'une phrase à la suivante.

8/ Tout ceci est très théorique et non utilisable en pratique car trop long, je te donne juste de quoi comprendre à fond les principes!!

9/ Exemple de preuve:

a
b=>(a et b)
a et b
a et b et c

Avec cette preuve, tu as prouvé (a et b et c)

en supposant:

a
a =>(b=>(a et b))
(b=>(a et b))=>(a et b)
(a et b)=>(a et b et c)

10/ Tu remarqueras que dans ta preuve il y a des axiomes "plus cool" que d'autres, ou pour être plus précis "plus incontestable" que d'autres. Je les numérote :

a (1)
a =>(b=>(a et b)) (2)
(b=>(a et b))=>(a et b) (3)
(a et b)=>(a et b et c) (4)

Les 1,3,4 paraissent gratuits, alors que le (2) parait incontestable. (Je le réécris: si a alors si b alors [a et b] )

11/ Certaines hypothèses s'appellent des "axiomes logiques". C'est quand le crédit qu'on leur accorde est INDEPENDANT des sens des mots qui composent lesdites hypothèses.

12/ En gros, voilà le principe.

13/ Bon ça, ce n'était qu'un exemple "un peu simplifié.

14/ Pour être un tout petit peu moins simple, en fait, on ne regarde pas "la ligne précédente", car c'est "trop chiant et contraignant". On regarde n'importe quelle ligne strictement avant. Et on ajoute "car" à droite. De plus, on peut ne pas mettre le mot "car". DE PLUS: tu as le droit de remonter DEUX lignes avant. Ca donne la règle d'extraction:

X
Y
Z

axiome extrait de ce passage : X=>(Y=>Z)



15/ Selon ce nouveau format, voici une preuve:

a
b
b=>(a et b) (car a)
a et b (car b)

Les hypothèses (tu peux aussi dire "les admis") sont :

a
b
a => (b=> (a et b)) <---- ici, important, j'ai utilisé le car, je n'ai pas pris la ligne d'avant
b=>((b=>(a et b))=>(a et b))

Cette preuve est déjà plus intéressante car regarde comme les axiomes sont finalement "pas très affirmatifs" alors que la conclusion est "assez impressionnante".


16/ Suivant les différents formats que tu utilises tu as des règles d'extraction d'hypothèses de sorte que tout texte est une preuve de sa dernière phrase à partir des hypothèses qu'elle fait, et la façon d'extraire les hypothèses qu'elle fait a été au fil du temps peufiné sans tricher de manière à avoir "de nos jours" quelques chose d'assez pur et concis. (Mais même les meilleurs versions trouvées sont longues, t'inquiète, tu n'as pas besoin d'être frustré.

17/ Maintenant regarde les deux preuves suivantes, comparées:


a
a=>b
b

dont les axiomes sont

a
a=>b
a=>((a=>b)=>b)

j'imagine qu'en tant que débutant, tu trouves ça "matrixant".

Maintenant regarde la preuve suivante:

a=>b
a
b

Les axiomes sont :

a=>b
a
(a=>b)=>(a=>b)

A part le troisième hypothèse, les 2 premiers sont les mêmes, et la conclusion est la même. On a donc une meilleure preuve car le troisième axiome de la deuxième semble plus incontestable que le troisième de la première.


18/ Voilà, voilà. Note bien que la seule règle du jeu intangible est "tout ce que je suppose doit se voir". C'est ce qui fait l'honnêteté scientifique (qui l'oppose aux religions et aux textes politiques) et surtout ce qu'on appelle "le côté formalisé" de la science et des maths (tout se voit, pas d'interprétation possible ambigue)

19/ Maintenant tu as des axiomes qu'on utilise CONTINUELLEMENT: exemple.


a=>(b=>c)
(a et b)=>c
(b et a)=>c
b=>(a=>c)

Dans cette preuve, en partant du seul admis gratuit a=>(b=>c)
je suis arrivé à la conclusion b=>(a=>c)
à l'aide d'axiomes que personne n'aurait l'idée de contester.

20/ Je te liste maintenant, en plusieurs groupes, les axiomes "que personne n'aurait l'idée de contester".

20.1/ Groupe 1 (pur reformulation verbale) :

a=>a
(a et b) => (b et a)
(a=>(b=>c)) => ((a et b)=>c)
((a et b)=>c) => (a=>(b=>c))


20.2/ Groupe 2 (transitivité)

( (a=>b) et (b=>c) ) => (a=>c)

20.3/ Groupe "existence de poubelles à volonté"

(a et b)=> a (ie tu peux jeter b)


20.4/ Clonabilité des hypothèses (groupe 3)

a=> (a et a)



21/ Et bien tout ça, ça ne te donne que la logique intuitionniste!!! (tu me diras, c'est normal, c'est tellement des platitudes tout ça)

22/ Il y a un axiome (enfin plusieurs versions, toutes équivalentes) dit du "raisonnement par l'absurde" qui affirme EN PLUS de ce qui précède une chose qui est importante et qui permet d'avoir l'équivalence entre la logique et les tables de vérité. C'est (par exemple):

Philosophiquement, cet axiome (qui parait très fort) te dit en gros que si tu as (x=>y)=>z alors tu as (x ou z). Arutement dit que si tu es capable de garantir qu'en te servant du cadeau qu'on te ferait qui serait l'implication (x=>y) tu pourrais l'utiliser comme garantie de z, alors c'est forcément que tu as déjà z en quelque sorte, ou à tout le moins que pour l'obtenir et te servir la garantie, tu vas devoir lui fournir x (afin de chopper y en retour).

Dit comme ça, ça parait évident, après avoir pourtant un premier temps lu l'axiome comme une affirmation bien plus gratuite que les précédents.

Le fait est que comme ça exige une psychanalyse (un back-retour sur la garantie), on ne peut pas prouver cet axiome dit "du raisonnement par l'absurde" à l'aide des autres axiomes.

Bon digère TRANQUILLEMENT ce début, etr reviens avec des questions.

Je te parlerai du "ou" après.

@XV: il faut bien comprendre que tu as deux situations humaines:

1/ acquérir une compétence en logique APRES avoir fait pas mal de "vraies maths".

2/ acquérir une compétence en logique AVANT avoir fait des "vraies maths".

qui sont très différentes. Ce matin, tu nous apprends que tu es dans la situation 2, à savoir que tu n'as jamais de maths, en dehors du fait que tu sais que les maths, c'est une pratique où on écrit des signes bizarres sur du papier et qu'au moindre changement de signe, tout peut se crasher.

C'est pourquoi, je te recommande de lire doucement ce que j'ai écrit et de ne PAS FORCER. A ton stade, pas besoin de te concerntrer ou faire des exos, juste besoin de méditer (c'est un peu le contraire de la concentration) sur le fait qu'en math, on ne fait que bilanter ce qui est évident.

Le miracle à qu'à "bilanter" des truismes, on a fini par construire des avions à réaction et des ordinateurs ultrapuissants. Mais ce "miracle", tu ne vas pas le "capter" demain. Le risque quand on va trop vite, c'est de retomber dans la religion et se mettre à raconter n'importe quoi par "indigestion face au vide".

Exemple de preuve de maths:

a
a
a

J'ai supposé pas seulement a. J'ai aussi utilisé l'axiome a=>a, et l'axiome a=>a, une DEUXIEME fois par exemple.
Et ma conclusion est a.

Ces phénomènes qui ont l'air COMPLETEMENT RIDICULES sont en fait de TOUTE PREMIERE IMPORTANCE en science puisqu'on ne se donne le droit qu'à CES TRUISMES. Tout le reste est considéré comme supposé et est donc ATTAQUE par les raisonnements scientifiques (et non pas défendu).

Voilà pourquoi, je te recommande de digérer doucement cette prise de conscience.

Je te donne un exemple d'une autre preuve intéressante:

(a=>b)=>(a=>b)
((a=>b) et a) =>b
(a et (a=>b))=>b
a=>((a=>b)=>b)

et bien, je ne détaille pas, mais cette "simple preuve" toute bête est à l'origine de quasiment toutes les grandes découvertes récentes*** en maths. Tu vois qu'il faut adapter "sa mentalité" à l'activité que constitue faire des maths. Sinon, on fonde dans le HS.

[small]*** le plongement naturel $$(x\mapsto (f\mapsto f(x)))$$
est présent dans quasiment tous les articles de recherches fondamentales[/small]