Définition de "small forcing"
Bonjour à tous,
Je lis un peu partout que les cardinaux faiblement compacts sont conservés par "small forcing".
Mais quelqu'un peut-il me donner la définition de ce qu'est exactement un small forcing ?
Pendant que j'y suis, j'ai aussi la même question concernant le "canonical forcing of GCH" (je pense qu'il s'agit du forcing de Cohen mais je n'en suis pas sûr) et le "fast function forcing".
Merci d'avance
Martial
Je lis un peu partout que les cardinaux faiblement compacts sont conservés par "small forcing".
Mais quelqu'un peut-il me donner la définition de ce qu'est exactement un small forcing ?
Pendant que j'y suis, j'ai aussi la même question concernant le "canonical forcing of GCH" (je pense qu'il s'agit du forcing de Cohen mais je n'en suis pas sûr) et le "fast function forcing".
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Veux-tu donner la source de tes informations, s'il te plait ? Merci.
Titi
PS : cf. ceci.
En fait, c'est "mal dit" d'avoir l'adjectif "small" sans paramètre. C'est plutôt "pluss small que".
J'ai même proposé il y a très très très longtemps :-D qu'on appelle propriété de grand cardinal toute propriété $R(x)$ qui vérifie ça, dans la mesure où j'ai rarement vu des propriétés "autres" que des axiomes de grands cardinaux les vérifier.
@Christophe : oui, c'est ce que j'ai cru comprendre en fouinant à droite à gauche. On parle notamment de forcing $\kappa$-small.
Alors, si je comprends bien, quand on dit qu'un cardinal faiblement compact $\kappa$ est préservé par small forcing, ça veut dire que si tu forces avec un poset $P$ de cardinal $< \kappa$, $\kappa$ reste faiblement compact dans l'extension, c'est ça ?
La définition est à la page 4 de ce document.
La définition du fast function forcing est à peu près compréhensible.
Celle du forcing canonique pour GCH est particulièrement absconse. C'est quoi "the reverse Easton iteration of forcings" ?
Je ne pense pas que tu aies halluciné. Moi aussi il me semble bien avoir lu que tous ces forcings étaient $< \kappa$-clos. D'ailleurs à mon avis c'est pour ça que ça marche.
C'est juste pour le diffencier de son forcing par produit dans $V$ à support Easton.
Le reverse blabla est juste un forcing itéré à support Easton (Non mis au point pas Easton...).
Bienvenue en Frangleterre...
ou bien : $W$ n'est pas un modèle de ZFC
ou bien $W$ en est un mais n'a pas été obtenu par forcging
ou bien $W$ il l'a été, mais avec un poset $P$ qui n'est pas dans $V$
ou bien "all is as in 1963" :-D
Comme c'est un outil souple, un peu à la manière d'une ancienne pub (je ne me rappelle plus laquelle où on voyait une main contracter une bouteille à certains endroits), tu peux "forcer" tout au long d ela colonne vertébrale (les ordinaux) de façon suffisamment espacé pour que la réunion soit un modèle de ZFC (Easton par exemple).
Idem pour forcer HGC et tout un tas de trucs
En fait le seul truc qu'il faut surveiller c'est que les différentes actions ne se "marchent pas dessus" et ne finissent pas de prolonger jusqu'à la fin des collapse au dénombrable (par exemple) de tous les ordinaux, ou ensembles, etc.
Voilà l'histoire. Après, hélas, j'imagine que c'est comme comme on apprend le japonais : la mise en "exposé mathématique" de tout ça multiplie la longueur du récit par 100 :-D (pas par 10!)
Je crois qu'il y a des problèmes ouverts "espiègles" à ce propos, comme le suivant (tout est supposé bien fondé, on ne s'occupe pas du reste):
soit $V$ un modèle de ZFC, $W$ un surmodèle, qui le plus petit à contenir un certain réel pas dans $V$. Alors est-ce que ou bien forcément $W$ est une extension généraique de $V$ ou est-ce que $[(0^\#)$ calculé dans $V ]\in W$
Pour le reste je suis d'accord que les idées sont simples mais que la mise en pratique est horriblement technique.
J'ai compris "en gros" ton problème ouvert, mais je suis coincé par ma méconnaissance de $0^{\#}$. J'ai encore jamais vu un bouquin où ce truc était expliqué de façon compréhensible.
Y compris le livre de P. Dehornoy ?
Je trouve qu'il y a 2 trucs qui sont particulièrement mal expliqués dans ce livre :
1) le forcing (sa construction est un peu bizarre).
2) $0^{\#}$ : je me suis perdu corps et âme dans sa définition des EM-traces.
Pour la définition du forcing dans le Dehornoy, il a sûrement voulu étoffer son polycopié de cours chapitre forcing ; (qui n'a jamais été sur son site), mais qu'on trouve sur internet ; mais autant le poly était limpide, autant le livre, je ne comprends pas l'enchainement des notions. Bref, pas grave, il y a le Leroy aujourd'hui.
Pour le $0^{\#}$, il vaut mieux repartir vers la théorie des modèles pure et repasser à la théorie des ensembles ensuite que l'inverse...(pour une fois).
Là d'un seul coup, on est censé avoir lu le chapitre 5 du Lascar avant.
Mais bon, le reste est quand même pas mal B-).
Le Leroy a été inspiré de beaucoup de sources, dont tu connais les noms pour la plupart.
Je viens de jeter un oeil, effectivement l'idée de lire le chap 5 du Lascar avant d'aborder $0^{\#}$ est bonne ! Merci pour le tuyau.
D'accord avec toi, le livre est excellent. Mais c'était plus facile quand il était encore vivant, quand tu comprenais pas un truc tu lui demandais, et il t'expliquait. Ces temps-ci j'ai fait du ménage dans ma boîte mail et suis tombé sur nos nombreux échanges. Difficile de ne pas avoir la larme à l'oeil...
C'est juste que le terme "small" est mal choisi. On devrait dire "$\kappa$-small".
Merci
Je ne parlais pas en toute généralité mais seulement dans le cas des grands cardinaux.
Typiquement : soit blabla une notion de forte cardinalité. La blablature est conservée par petit forcing si , pour tout cardinal $\kappa$ qui est blabla, quelle que soit le forcing $P$ utilisé avec $|P| < \kappa$, $\kappa$ reste blabla dans l'extension.
Pour le reste je suis d'accord avec toi : small ou $\kappa$-small ne veulent pas dire grand-chose.