Origines des systèmes axiomatiques ?

Cantor-Bernstein · November 2020

Le fait d'utiliser des systèmes axiomatiques en mathématiques ou en sciences provient-il du trilemme d'Agrippa appelé aussi Trilemme de Münchhausen ?

(Dans le sens qu'il a pu motiver l'emploi de systèmes axiomatiques)

Foys · November 2020

En maths on ne prouve pas "ex nihilo" mais à partir d'axiomes et de règles de formation de preuve convenus explicitement à l'avance.

Cantor-Bernstein · November 2020

Bien sûr, je l'ai bien compris.

J'essaie de faire de "l'histoire des axiomes". Par ailleurs d'en justifier l'usage.

Je m'intéresse ici aux problèmes logiques qui auraient pu être à l'origine de la nécessité des axiomes. Ce sont ces types de problèmes qui sont concernés et qui auraient pû pousser Euclide à considérer la notion d'axiome (d'ailleurs en a t-il la paternité?). Le trilemme les révèle justement non ?

C'est bien ce néant que met en lumière le trilemme.

Je reformule ma question.
N'est-ce pour ne pas tomber dans les "abîmes de la logique" (régression à l'infini, circularité logique etc..) amenés par les 5 modes opératoires posés par le trilemme d'Agrippa (tentative d'établir l'impossibilité de la certitude) qu'on a recours aux systèmes axiomatiques ?

En somme pour bâtir une connaissance, il faut se "forcer" (pour ne pas régresser ((:P)) à l'infini par exemple) d'admettre une vérité première (disons A) qui tombe sous le sens d'une majorité de gens dits "rationnels" (-> très subjectif) et que parce qu'évidente on s'interdira de la discuter et d'en apporter la preuve car sinon on a ce scénario bien connu :

Mais papa pourquoi A ? Ah mais mon fils parce que B.
Ah oui euh mais papa euh pourquoi B ? Et bien va voir ta mère ...

gerard0 · November 2020

Bonjour C-B.

S'agit-il d'une recherche philosophique ? Dans ce cas, pourquoi en logique ? Ou d'une recherche historique ? Dans ce cas, Agrippa ayant vécu plusieurs siècle après Euclide, il faudrait trouver chez les auteurs grecs des traces de son trilemme. En tout cas, n'y faire référence qu'avec beaucoup de guillemets.
On a vraiment très peu d'éléments sur ce qui a amené les grecs à chercher une présentation cohérente des mathématiques (pas vraiment axiomatique, les "définitions" d'Euclide sont vides de sens opérationnel).

En tout cas, le fait qu'on ne peut pas raisonner "sur rien" est connu depuis des millénaires.

Cordialement.

Cantor-Bernstein · November 2020

Philosophique un peu. Historique oui sur les fondements des fondements de la crise des fondements modernes (d'Euclide à Cantor ). Peu d'ouvrages sont abordables alors pourquoi ne pas en écrire un (qui se concentrerait spécifiquement sur ce qu'a découvert Cantor et pas sur ce qui a suivi) ?

Effectivement les époques diffèrent.

Pas compris : 1) n'y faire référence qu'avec beaucoup de guillemets
2) les "définitions" d'Euclide sont vides de sens opérationnel. ?

Oui depuis que le cerveau existe d'ailleurs: raisonner "sur rien" ça rime à rien ;-)
Enfin les régressions à l'infini n'amènent pas à raisonner sur rien. Elles ne "construisent rien"

Le choix de prendre pour point de départ des axiomes a-t-il pour but de nous délivrer de cette impossibilité de la certitude ? Ou alors je ne comprends rien

Si c'est cela alors en un sens le trilemme motive ce choix. Il faut bien construire, donner un sens à sa vie, se rendre utile, la quête de la vérité absolue est stérile...non ?

Cantor-Bernstein · November 2020

Dans ce cas je reformule : quelle est la raison initiale du choix des systèmes axiomatiques tels qu'on les connaît pour fonder la théorie ZFC ?

Et pourquoi on n'en utiliserait pas d'autres ?

gerard0 · November 2020

Pour les guillemets, c'est simplement qu'on a pour l'essentiel soit des fragments (parfois des bouts de phrases) des auteurs anciens, soit des citations par d'autres. Dans les deux cas, les conditions de conservation (généralement recopiage par des moines souvent incultes, ou traductions de traductions) et les a-priori des copieurs font qu'on n'est pas tout à fait sûr de ce qui était dit.

Pour les définitions d'Euclide, lire simplement la première permet de me comprendre : "Définition 1, le point est ce dont la partie est nulle". Bien évidemment, Euclide ne se sert jamais de cette définition pour prouver. Et le mot "partie" n'a rien à voir avec notre mot "partie"=sous ensemble.

"Le choix de prendre pour point de départ des axiomes a-t-il pour but de nous délivrer de cette impossibilité de la certitude ?" Ben oui ! Agrippa n'a fait que systématiser ça dans une analyse philosophique, qu'il reprenait peut-être d'un auteur précédent (les anciens ne citaient pas leurs sources !!). C'est le choix d'Euclide.

Pour ta dernière question ("raison initiale"), on a d'assez bons ouvrages historiques sur la façon de définir les fondements des mathématiques entre 1880 et 1930 : Logique (Frege), axiomatique des entiers (Peano), théorie des types (Russel et Whitehead), propositions de Zermelo, puis de Fraenkel, constructivisme (Brouwer), ... et les tentatives analogues pour la physique mathématique.
Le choix de ZFC est d'ailleurs assez contingent. Comme tu dis "...pourquoi on n'en utiliserai pas d'autres ?"; car il y en a pas mal ...

Si c'est cet aspect contingent, historique, il faudrait déplacer cette discussion en "histoire des mathématiques".

Cordialement.

Martial · November 2020

@Cantor-Bernstein : je n'ai jamais entendu parler du trilemme machinchouette, je réponds juste à ton dernier post.
Les axiomes de ZFC ont été choisis pour se rapprocher au plus près de la pratique mathématique usuelle.
Exemple :
1) Pour un proviseur, le lycée est un ensemble de classes.
2) Pour un prof, une classe est un ensemble d'élèves.
3) La personne qui gère la cantine aimerait bien pouvoir parler de l'ensemble des élèves du lycée...
d'où l'axiome de la réunion.
Et les autres axiomes se justifient de façon analogue... même si, pour le schéma de remplacement, il faut sortir un peu du lycée, lol.

Deuxième partie de ta question : bien sûr qu'on pourrait (et même peut) en utiliser d'autres. Il y a à ma connaissance 27 ou 28 théories alternatives à ZFC, dont certaines admettent des variantes et sous-variantes.
Par exemple, j'aime beaucoup Morse-Kelley (une recherche wikipédia devrait te suffire à en appréhender l'essentiel), qui a le mérite d'éviter certains écueils de ZFC, comme par exemple l'existence de modèles non standard.

Pourquoi ZFC s'est impossée comme le système universel ? Christophe en sait probablement plus que moi sur la question, mais à vue de nez j'aurais tendance à dire que c'est plus pour des raisons techniques que philosophiques. Il semblerait que ZFC "marche mieux " que MK pour le forcing et les grands cardinaux.

christophe c · November 2020

Les systèmes axiomatiques répondent AVANT TOUT au besoin de chasser les ambiguités au sein des échanges entre scientifiques professionnels.

Cantor-Bernstein · November 2020

Merci Gérard et aux autres :-). J'espère trouver un moyen prochainement pour me libérer du temps et continuer mon travail. Être autodidacte sans avoir temps+argent :-(

Jean-Louis · November 2020

Bonjour à tous, en fait, je viens de me rendre compte il n'y a pas longtemps qu'en physique aussi, on utilise des systèmes axiomatiques. Cf. les postulats de la MQ, ou de la relativité. Il me semble en tout cas.
Portez-vous bien.
Jean-Louis.

christophe c · November 2020

De mon téléphone attention JL. En physique, la formalisation n'a été que partielle n' est pas arbitrable par logiciel.

Les consensus sont moins complets qu'on ne les répute généralement.

Origines des systèmes axiomatiques ?

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