Exponentiation (ordinaux)

1- Tout élément du support de $f$ est plus petit que $\beta$, donc en restreignant $f$ à $\beta$ (et toutes les $g<f$) on obtient une injection du segment initial déterminé par $f$ dans $\alpha^\beta$.
Maintenant si je prends $\delta \in\alpha^\beta$ plus petit que l'image de $f$, représenté par une fonction $h$, et que j'étends cette fonction $h$ à $\lambda$ entier en mettant des $0$ en dehors de $\beta$, j'obtiens une fonction qui est plus petite que $f$ toujours, donc sa restriction à $\beta$ (qui n'est autre que $h$) est dans l'image du segment initial déterminé par $f$. En d'autres termes, $\delta$ est dans cette image. Donc l'image du segment initial déterminé par $f$ est le segment initial déterminé par l'image de $f$.

2- Il s'agit de montrer que pour $\alpha < \omega,\alpha^\omega\leq \omega$, le résultat sur le sup en découle. Mais par le point (i) du théorème plus haut, $\alpha^\omega= \sup_{n<\omega}\alpha^n$. Maintenant c'est facile de prouver par récurrence sur $n$ que si $\alpha,n < \omega$, alors $\alpha^n<\omega$. En particulier, le sup sur $n$ est aussi $\leq \omega$, donc le sup sur $\alpha$ aussi.