Propriété de partition

Martial · November 2020

Bonjour à tous,

Je coince encore sur un truc trivial (exercice 7.13 page 81 du Kanamori).
Il s'agit de prouver que $\omega \not \to (\omega)_2^{< \omega}$, autrement dit que $\omega$ n'est pas Ramsey.

Selon l'usage, on identifie les $n$-uplets non ordonnés d'entiers avec des $n$-uplets ordonnés selon l'ordre usuel de $\omega$.

Il y a une indication. Montrer que l'application $f:[\omega]^{< \omega} \to 2$ définie par $f(k_1,...,k_n)=0$ si $k_1 \leq n$, et égale $1$ sinon, n'admet pas d'ensemble infini homogène.

Je ne vois pas du tout comment procéder. J'ai bien pensé à utiliser le principe des tiroirs : soit $H$ un ensemble infini homogène pour $f$. Posons $N_0 = \{n \in \omega : f \upharpoonright [H]^n=0 \}$, et idem pour $N_1$. L'un au moins des ensembles $N_0$, $N_1$ est infini, mais dans aucun des deux cas je n'ai réussi à dériver une contradiction.

Si quelqu'un a une idée...

Merci d'avance

Martial

Maxtimax · November 2020

Je manque peut-être quelque chose, mais :

Soit $H$ ton ensemble infini homogène. Disons par exemple qu'il est de couleur $0$, ça veut dire "quel que soit le $n$-uplet $(k_1,...,k_n)$ dans $H$, $k_1\leq n$"
C'est quand même fort pour un ensemble infini, non ? :-D

(Puisque $H$ est infini, il contient un élément $k$ plus grand strictement que $1$, auquel cas $f((k)) = 1$)

S'il est de couleur $1$, ça veut dire "quel que soit le $n$-uplet $(k_1,...,k_n)$ dans $H$, $k_1 > n$". A nouveau, ça me semble un peu fort pour un ensemble infini
(prendre $k$ dans $H$ quelconque. $H$ a $k+1$ éléments plus grands que $k$, puisqu'il est infini. On les met dans une liste qui commence par $k$, et on a un petit souci)

Martial · November 2020

@Max : d'accord pour le cas de la couleur $0$.

Mais pour la couleur $1$ je coince encore et je ne comprends pas ton argument.
Quand j'écris "on pose $f(k_1,...,k_n)= \text{ blabla}$", ça suppose que $k_1 < k_2 <... < k_n$, d'accord ?
Donc si tous les éléments de $H$ sont $\geq n$ on est coincés, toujours d'accord ?

Mais ça y est, je crois que j'entrevois la solution : d'après ton premier argument aucun $[H]^n$ ne peut avoir la couleur $0$. Donc ils ont tous la couleur $1$. Donc, d'après ce que je raconte ci-dessus ça veut dire que tous les éléments de $H$ doivent être $\geq n$ pour tout $n$.
Donc $H \subseteq \bigcap \limits_{n \in \omega} [n, + \infty[ = \emptyset$, gros souci...

Ça te paraît correct ?

Maxtimax · November 2020

Ok je crois que ce que je manquais c'est que tu requiers une couleur par $n$, je pensais que "homogène" ça voulait dire "une couleur tout court".

Mais effectivement comme tu dis vu que le cas $0$ est de toute façon éliminé on arrive au cas où $H$ est "globalement" homogène

Martial · November 2020

Oui, je me doutais bien que tu croyais la couleur uniforme. Et en l'occurrence, dans ce cas particulier ça revient au même. Mais j'aurais dû préciser dès le début.

En tous cas merci, tu m'as bien décoincé...

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