Card(K[X]) = max(Card(K); Card(X))

Bonsoir,

Sur MSE je suis tombé sur cette démonstration établissant une majoration du cardinal de l'ensemble des polynômes à coefficient sur un corps infini F dont les variables appartiennent à un ensemble X (possiblement infini). https://math.stackexchange.com/questions/103417/why-does-fx-max-f-x-when-x-is-a-transcendence-basis
\begin{align*}
\#F[X] &= \#\bigcup_{\substack{X_0\subseteq X\\ \#X_0\lt\infty}}F[X_0]\\
&\leq \sum_{\substack{X_0\subseteq X\\ \#X_0\lt\infty}}\#F[X_0]\\
&= \sum_{\substack{X_0\subseteq X\\ \#X_0\lt\infty}}\#F\\
&= \#\{X_0\subseteq X\mid \#X_0\lt\infty\}\#F\\
&=\left\{\begin{array}{ll}
\#X\#F &\text{if }\ \#X=\infty\\
2^{\#X}\#F &\text{if }\ \#X\lt\infty
\end{array}\right.\\
&= \max\{\#X,\#F\}.

\end{align*} Il y est dit que cette démonstration est incorrecte car il est possible que $Card(X)$ soit supérieur à $Card(F)$ mais je ne décèle pas d'erreur dans cette démonstration.:-S
Si un intervenant pouvait pointer cette erreur (s'il y en une) je l'en remercie par avance