Théorème de Cox-Jaynes

Georges Abitbol · November 2020

Bonjour,

je voudrais savoir qui, parmi vous, et à votre avis, qui, parmi la communauté scientifique, tient le théorème de Cox-Jaynes pour correct ou important.

A mon avis, il s'agit plutôt d'un programme de recherche consistant à démontrer que toute théorie logique de la plausibilité doit ressembler à des cas particuliers de la théorie des probabilités.

Dans chaque référence, on trouve sur des hypothèses différentes, probablement à cause du fait que Cox et Jaynes étaient physiciens et avaient la fâcheuse habitude de ne pas énoncer clairement leurs hypothèses, ni de les énoncer au même endroit d'un texte.

Je suis tombé sur un article (cliquez) qui énonce qu'il y a un contre-exemple à un énoncé sans une hypothèse, et argumente qu'il n'est pas forcément naturel de la défendre en tant qu'axiome de ce que devrait être une logique de la plausibilité.

Dans cette vidéo, Stanislas Dehaene (à peu près vers -46min, (après avoir blablaté sur "si $A$ implique $B$ et si $A$ est faux, alors $B$ semble moins plausible" (sic), énonce des trucs vagues, mais le tient pour un truc vrai et fondamental (et en tire un corollaire sur le fonctionnement de notre cerveau).

Bref, qu'en pensez-vous ? Est-ce qu'il y a un consensus ? Est-ce que beaucoup de matheux et matheuses se sont intéressés ou intéressées au problème ? Est-ce qu'on doit plus le considérer comme un "théorème moral" ou comme un "vrai théorème rigoureux" ?

Foys · November 2020

Jamais entendu parler de ça; je regarderai. Mais à mon avis il y a un déficit énorme de réflexion (correcte) sur le bien fondé des probas dans la communauté scientifique (on croit étudier à tort une force magique qui amène les instances répétées d'un phénomène à manifester un certain comportement asymptotique) et en maths il n'y a pas de nuances de validité des théorèmes. Il y a des énoncés qui sont des théorèmes sous certains axiomes et d'autres non.

Foys · November 2020

Pour la justification des probas bayésiennes il y a les approches de type De Finetti/Diaconis/Freedman qui sont très propres et supposent seulement l'invariance par permutations finies sur un ensemble d'indices.
La lecture de l'article suivant est vivement recommandée (les prérequis sont quasiment de niveau prépa):https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176994663.

Précisément:

0°) dans ce qui suit, on appelle loi de probabilité sur un ensemble fini $X$ toute fonction $f: X \to [0,1]$ telle que $\sum_{x \in X} f(x) = 1$. Par abus de langage on notera $f(A):= \sum_{y \in A} f(y)$ pour toute partie $A$ de $X$.
Pour tous $A,B\subseteq X$, on désignera par $f(A\mid

$ un élément de $[0,1]$ égal, si $f(B) \neq 0$, à $\frac{f(A\cap

}{f(B)}$.

1°) soient $d,n$ des entiers et $E:=\{e_1,...,e_d\}$ un ensemble fini de cardinal $d$. Soient $p_1,...,p_d$ des entiers dont la somme vaut $n$. Soit $E^n_{\vec p}$ l'ensemble des $x\in E^n$ tels que pour tout $k\in \{1,...,d\}$, $card \big\{i\in \{1,...,d\} \mid x_i = e_k\big\} = p_k$. On appelle loi hypergéométrique la probabilité uniforme sur $E^n_{\vec p}$, ou plutôt (abus de langage utile pour la suite i.e. on étend la loi à $E^n$ tout entier) la fonction $P^H_{n,\vec p}$ qui à $x\in E^n$ fait correspondre $0$ si $x\notin E^n_{\vec p}$ et $\frac{1}{card(E^n_{\vec p})}$ sinon (*). Cette loi de proba est utilisée pour modéliser des tirages de boules sans remise dans une urne typiquement.

2°) soit $Q$ une probabilité sur $E$, on note pour tout $k\in \N$, $Q^{\otimes k}(v) := \prod_{i=1}^k Q(v_i)$. Cette fonction est une probabilité sur $E^n$ utilisée pour modéliser des "tirages indépendants identiquement distribués".

Sous les notations de 1°), On peut démonter que si $Q$ est la mesure de probabilité qui envoie $e_i$ sur $\frac{p_i}{n}$ pour tout $i\in \{1,...,d\}$, alors pour tout entier $k\leq n$ et toute partie $A$ de $E^k$, on a $$\left |P^H_{n,\vec p} \left (\{x \in E^n \mid (x_1,...,x_k) \in A\} \right ) - Q^{\otimes k} (A) \right| \leq \frac{dk}{n} \tag i$$.
Ainsi, lorsque $n$ est grand devant $k$, la différence entre le comportement probabiliste des $k$ premiers tirages de l'urne et un tirage indépendant au sens des mathématiciens est très petite et majorable de façon uniforme (résultat employé dans les statistiques des sondages). L'inégalité $(\text i)$ est démontrée dans l'article en lien.

3°) soit $P: E^n \to [0,1]$ une mesure de probabilité. On dit que $P$ est échangeable si pour toute permutation $s\in \mathfrak S_n$ et tout $x\in F^n$, $P(x \circ \sigma) = P(x)$.

Toute loi échangeable est combinaison convexe de lois hypergéométriques.
Précisément; soit $\Delta^d_n$ l'ensemble des $(q_1,...,q_d)\in \N^d$ de somme égale à $n$.Pour tout $p\in \Delta^d_n$ et tous $x,y\in E^n_{\vec p}$, il existe $\sigma \in \mathfrak S_n$ tel que $x \circ \sigma = y$ et donc par échangeabilité ($E^n_{\vec p}$ est invariant par $\sigma$) on a $P(x \mid E^n_{\vec p})= P (y \mid E^n_{\vec p})$ ce qui entraîne immédiatement l'égalité $$P (A)= \sum_{p \in \Delta^d_n} P(E^n_{\vec p}) P^H_{n,\vec p} (A) \tag{ii}$$ pour toute partie $A$ de $E^n$.

Autrement dit: $P$ est égale à la mesure obtenue de la façon suivante (l'indépendance étant prise au sens mathématique usuel):
-on prend $\pi \in \Delta^d_n$ au hasard suivant la loi $p\mapsto P(E^n_{\vec p})$.
-ensuite, on tire les $(x_i)_{i=1...n}$ selon la loi hypergéométrique $P^H_{n,\vec \pi}$.
-les $k$ premiers tirages se comportent statistiquement comme des variables iid de paramètre $\pi$ lorsque $n$ est grand devant $k$.

Ceci est d'autant plus remarquable qu'aucune hypothèse d'indépendance n'est faite sur les tirages à la base, $P$
est seulement échangeable ce qui n'est rien d'autre que l'affirmation "l'ordre dans lequel sont tirés les éléments dans $E$ ne compte pas".

Ce qui se passe lorsqu'on fait tendre $n$ vers l'infini est décrit dans l'article en lien. C'est juste de la compacité. Mais en gros une loi échangeable sur $E^{\N}$ (invariance par permutations à support fini des indices) est un tirage aléatoire d'une loi de proba sur $E$ inconnue puis des tirages indépendants selon cette loi.

[size=x-small](*)Le groupe $\mathfrak S_n$ agit évidemment transitivement par composition à droite sur $E^n_{\vec p}$ et si $u$ est l'unique élément croissant de $E^n$ (muni de l'ordre évident $e_i\leq e_j$ pour tous $i,j$ tels que $i\leq j$) alors le stabilisateur de $u$ est de cardinal $p_1! \times ... \times p_n!$ d'où l'égalité $E^n_{\vec p} = \binom {n!}{p_1! p_2! \dots p_n!}$[/size]

Georges Abitbol · November 2020

Merci beaucoup, d'autant plus que tu retapes ce paragraphe à chaque fois que tu fais un laïus sur de Finetti, c'est vraiment cool !

Est-ce que tu peux me dire en quoi ça justifie les probas bayésiennes, comme tu dis ?

Foys · November 2020

Georges Abitbol a écrit:

Est-ce que tu peux me dire en quoi ça justifie les probas bayésiennes, comme tu dis ?

Parce qu'il donne un sens, étant donnés $a_1,...,a_d$ réels positifs de somme 1, à $P(q_1=a_1...q_d = a_d| observation)$ où $(q_1,...,q_d)$ est le paramètre inconnu de la loi étudiée.

Georges Abitbol · November 2020

Euh je n'ai pas compris. C'est quoi $P(observation)$ ?

Foys · November 2020

On traite le cas où avec les notations précédentes, $card(E)=2$ (le cas général se traite de la même façon).

Soit $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de v.a.i.i.d uniformes sur $[0,1]$.

1°) Soit $p\in [0,1]$ et $B_p(k):= \mathbf 1_{[0,p]} (U_k)$ pour tout $n\in \N$ un nombre réel. Alors $k\mapsto B_p(k)$ est une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre $p$. Si $A$ est un borélien de $[0,1]$ et $M\subseteq \{0,1\}^{\N}$ est mesurable, $P(p\in A\mid B_p \in M)$ a-t-elle un sens mathématique? Non et ça complique l'introduction de certaines notions dans les discours (régions de confiance, etc).

2°) Soit désormais une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}^{\N^*}$, finiment échangeable (i.e. pour toute permutation à support fini de $\N$ et tout $A\subseteq \{0,1\}^{\N^*}$ mesurable, $P(X \circ \sigma \in A) = P(X\in A)$). Alors (De Finetti) il existe une variable aléatoire $Z\in [0,1]$ et des v.a.i.i.d uniformes $(U'_n)_{n\geq 1}$ sur $[0,1]$ indépendantes de $Z$ telles que $X$ est égale en loi à $\left ( \mathbf 1_{[0,Z]} (U'_n) \right )_{n\geq 1}$.

Dans ces conditions, $P(Z \in B\mid (\mathbf 1_{[0,Z]} (U'_n))_{n\in \N} \in A)$ pour $B\subseteq \{0,1\}$ a bien un sens (à défaut d'être calculable) avec $A\subseteq \{0,1\}^{\N^*}$ mesurable.

La loi de $Z$ va être le "prior bayésien" de $X$ en gros.

Foys · November 2020

Je suis présentement sur le forum par pure procrastination (hésitations devant des tâches rébarbatives mais autrement plus urgentes) mais ferai quand je serai plus disponible un autre laïus sur pourquoi les messages précédents ne valident pas la prétendue "philosophie" bayésienne dans son ensemble (pour voir l'étendue des problèmes posés par cette approche songer à l'humiliation qu'a été Monty-Hall alors que le problème se résout de façon simple et fiable avec le point de vue fréquentiste) mais esquissent plutôt un domaine de validité.

Georges Abitbol · November 2020

Oh oui, ça m'intéresserait beaucoup de savoir

Foys a écrit:

pourquoi les messages précédents ne valident pas la prétendue "philosophie" bayésienne dans son ensemble

parce que dans les milieux où je m'informe/divertis, des gens qui parlent très fort élèvent cette philosophie en doctrine divine avec des arguments parfois étranges (par exemple ce "théorème" de Cox-Jaynes).

Merci pour ton explication. Question, au passage : est-ce que les points extrémaux de l'ensemble des probabilités échangeables sur $\{0,1\}^\mathbb{N}$ est l'ensemble des lois de suites i.i.d de variables de Bernoulli ?

EDIT : La réponse à ma question, ça doit être "mais non !". Je reviendrai dessus tranquillement un autre jour.

christophe c · November 2020

@foys: il y aurait eu (si je te comprends) des scientifiques pros qui se seraient "d'abord trompés" sur Monty Hall???

Georges Abitbol · November 2020

La page wiki en anglais (celle en français n'incrimine pas grand monde) dit que :
- Paul Erdös (un an avant sa mort), n'a été convaincu de la solution qu'après avoir vu des simulations numériques...
- Mille personnes (parmi dix mille en tout) ayant des PhD (doctorat) ont écrit au journal (pas un journal scientifique, apparemment un supplément de journaux, originellement du Chicago Sun) où l'énigme a été publiée pour dire que la bonne solution ($\frac{1}{3}$) était fausse (chiffre estimé par la dame qui a écrit l'article).

EDIT : Il y a un mec qui a un blog/site de statistiques et qui dit que la bonne réponse est $66\%$. Ca compte :-D ?

christophe c · November 2020

oulala. J'aimerais bien savoir quelle théorie ils utilisent pour se tromper. C'est un truc que j'ai enseigné des dizaines de fois .. à des enfants sans autre problème que d'enseigner n'importe quelle notion de "probable".

Les simulations numériques n'apportent rien de mathématique. Du coup ça m'étonne d'Erdos. Grand merci pour les liens!

christophe c · November 2020

Georges a écrit:

je voudrais savoir qui, parmi vous, et à votre avis, qui, parmi la communauté scientifique, tient le théorème de Cox-Jaynes pour correct ou important.

Je viens de passer 20mn à en chercher l'énoncé mathéamatique et je ne l'ai trouvé nulle part. Les liens que j'ai consultés ne contiennent que de la langue de bois assez vague.

Or j'imagine que si le mot "théorème" est utilisé, c'est qu'il y a un énoncé quelque part, non?

Est-ce que tu as l'énoncé mathématique du théorème?

Georges Abitbol · November 2020

Ben en fait c'est ça le problème.

L'énoncé original de Cox-Jaynes (qui est faux), si on le formalise, est :

soit $\Omega$ un ensemble, soit $P : \mathcal{P}(\Omega) \times \mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction, le tout tel que

1) Il existe une fonction $F : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ deux fois différentiable telle que pour tout $A,B,C \subset \Omega$, $P(A\cap B,C) = F(P(B,C),P(A, B\cap C))$.
2) Il existe une fonction $S : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ deux fois différentiable telle que pour tout $A,B \subset \Omega$, si $B$ est non vide, alors $P(A^c,B) = S(P(A,B))$.

Alors il existe une fonction $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, une mesure de probabilité finiment additive $\mu$ sur $\Omega$ telle que pour tout $A,B \subset \Omega$, $\mu(A\cap

= g(P(A,B)) \mu(B)$, i.e. $P(A,B)$ est la "probabilité de $A$ sachant $B$".

Les hypothèses sont censées s'interpréter de la façon suivante : supposons que, pour tout $A,B$, $P(A,B)$ mesure la plausibilité de $A$ à partir des hypothèses $B$. Alors la plausibilité de $A\cap B$ à partir de $C$ doit être fonction de la plausibilité de $B$ à partir de $C$ et de la plausibilité de $A$ à partir de $B\cap C$ (genre, "si on apprend $B$ de $C$ puis qu'on apprend $A$ de $B\cap C$, c'est qu'on a appris $A\cap B$ de $C$"). L'autre est l'hypothèse que, à partir des mêmes informations, la plausibilité de la négation d'un truc est fonction de la plausibilité du truc.

Halpern a proposé un contre-exemple en 1999. Il y a des variantes qui sont vraies, en rajoutant des hypothèses moins "épistémologiques" que 1) et 2).

Mais faut voir les commentaires grandiloquents que les gens qui font de l'intelligence artificielle tiennent à propos de ce truc !

Georges Abitbol · November 2020

Je précise que dans les textes de Cox et Jaynes, il faut un peu jongler entre les pages, les commentaires philosophico-langue de bois et bêtises logiques (un paragraphe du livre de Jaynes offre une vulgarisation ridicule du théorème de Gödel - et Jaynes confesse à demi-mot qu'il n'a rien compris au théorème de Gödel), et surtout parser les hypothèses techniques non faites dans la "démonstration".

En tout cas, ce "théorème" est célébré comme étant (je mets des guillemets mais ce n'est pas une vraie citation, enfin, presque, quand même) "la preuve toute théorie consistante des plausibilités est isomorphe à la théorie des probabilités" et que "la formule de Bayes est le seul moyen d'apprentissage qui soit consistant".

EDIT : Vite, vite, avant que Chaurien ne passe !

EDIT 2 : Christophe, cette question du sous-forum d'analyse ressemble à un truc qu'Anatole ou toi devriez connaître...

christophe c · November 2020

Merci pour l'énoncé formel du "théorème faux" :-D

J'avoue ne toujours pas comprendre cette situation éthique: un "théorème" .. faux, célébré comme "formidable" par des .. scientifiques? J'ai loupé un épisode?

christophe c · November 2020

@GA: pour ta question, j'ai vaguement l'impression que c'est Bernard Randé qui nous l'avait transmise dans un bar (je ne me souviens que très vaguement de cette sensation), déclenchant des discussions autour de nous de "jeunes" présents qui prétendaient aussitôt avoir une preuve (avec de petites erreurs à chaque fois).

Est-ce que je l'ai répercutée sur le forum? Possible, je ne m'en souviens pas. Etait-ce cette question précise idem?

Rien à voir, mais est-ce que foys ou toi pouvez, à l'occasion, préciser au juste ce qu'est cette histoire de "paradigme bayésien qui prendrait de la hauteur" vis à vis des petits prolétaires des probabilités quotidiennes? (Je le formule comme je le ressens à partir de lecture rapide, j'ignore si ça a un sens).

Je suis moi-même hostile aux présentations fréquentistes dans leurs exagérations, mais pour autant je ne me "m'arme" pas de "théorème qui prennent de la hauteur" pour ce faire, je me contente de rappeler qu'elle n'est pas assez déductive. Enfin pour être précise, pas assez "formalo-déductive" au sens suivant:

un sondage donne que blabla. L'énoncé déductif post-sondage est que "si l'échantillon a été tiré glougloument alors blabla est vrai". Le problème est l'adverbe glougloument, que tout le monde comprend (d'ailleurs c'est souvent le mot "significatif" qui est utilisé) qui n'a pas de définition, ni même de position formelle autre que dynamique (je n'entre pas dans le détail, mais il y a un problème de commutativité admise en amont dans le langage, qui n'est pas mathématiquement valide). Ce "truc" est profondément concret quand on utilise des algorithmes probabilistes de calcul de primalité où le hasard est supposé comme un miracle non justifié à propos des générateurs pseudo-alétoires basés sur le théorème chinoins

Foys · November 2020

christophe c a écrit:

L'énoncé déductif post-sondage est que "si l'échantillon a été tiré glougloument alors blabla est vrai". Le problème est l'adverbe glougloument, que tout le monde comprend (d'ailleurs c'est souvent le mot "significatif" qui est utilisé) qui n'a pas de définition, ni même de position formelle autre que dynamique (je n'entre pas dans le détail, mais il y a un problème de commutativité admise en amont dans le langage, qui n'est pas mathématiquement valide).

Pour les sondages dans l'idéal (pas de trucage et autres manipulations institutionnelles) ça voudrait dire: tiré selon une loi hypergéométrique. Pour le "tout le monde comprend" c'est moins sûr par contre.

Foys · November 2020

J'ai autant de mal que vous à trouver un énoncé propre du théorème de Cox-Jaynes. Il est apparemment un corollaire d'un autre résultat difficile à sourcer: le théorème d'Aczél sur des applications associatives (c'est une équation fonctionnelle).
De ce que j'ai compris on la chose suivante:
Soit $A$ une algèbre de Boole; une proba sur $A$ est une application $p: A\to [0,1]$ telle que $p(1)=1$ et pour tous $a,b\in A$ tels que $a\vee b=0$, $p(a\vee b)=p(a)+p(b)$.

L'énoncé exprimerait ceci: pour toute applicaction $w:A^2 \to \R $, si $w$ vérifie certains axiomes, il existe $f:\R \to \R$ strictement croissante et $p$ une probabilité sur $A$ telles que pour tous $a,b$, $p(a|b)= f(w(a,b))$ où $x,y\mapsto p(x|y)$ est une fonction telle que $p(a|b)p(b)=p(a\wedge b)$ pour tous $a,b$, autrement dit pour tous $a,b$ tels que $p(b)\neq 0$, $p(a|b)=\frac{p(a \wedge b)}{p(b)}$ ("probabilité conditionnelle").
$w(a)$ représente la "plausibilité (subjective: selon les informations que le sujet possède) de l'événement $a$".

Après quoi un certain public décide d'en déduire qu'on a le droit de parler de "la probabilité conditionnelle de X sachant Y" quand X et Y sont absolument n'importe quoi (exemple: "la probabilité de trouver le chèque derrière cette porte-ci sachant que le présentateur a ouvert cette porte-là").

Il y a des critiques à faire (même sans la liste d'axiomes précis en main):

1°) Déjà au nom de quoi une plausibilité est à valeurs réelles ou même à valeurs dans un ensemble ordonné isomorphe à un sous-ensemble de $\R$.

2°) Même en admettant le théorème on ne sait rien de $f$ ni de $p$ et notamment RIEN n'indique comment déterminer $p(a|b)$ où $a,b$ sont des éléments d'intérêt et surtout pas le "bon sens" cher aux vulgarisateurs du théorème (exemple: tous les sophismes de Monty Hall consistent en fait à attribuer à la probabilité de gagner après ouverture d'une porte, la probabilité conditionnelle $p(porte \:x|porte \:y) = \frac{1}{2}$ sous prétextes des prétendues "symétries" apparentes du problème).

3°) La conférence de Dehaene est intéressante (malgré les déclarations péremptoires) en ce sens que, en tout cas d'après lui, le bayésianisme serait un préjugé naturel de l'homme (amha: au même titre que la géométrie euclidienne classique dans $\R^3$ qui est prouvée physiquement fausse via relativité générale et MQ mais que chacun ressent comme une vérité infaillible), déjà visible chez des enfants de un an.

Le problème est le gouroutisme abominable qui s'empare de ça, prétendant détourner ce préjugé en méthode éducative
se substituant à la logique!!!
LE BAYESIANISME EST UNE COLLECTION D'ERREURS DE LOGIQUE.
Il va sans dire qu'au contraire le rôle de l'éducation est d'empêcher l'homme d'être victime de ses préjugés - et s'ils sont naturels, d'en prendre acte et de dire la vérité à l'étudiant.

4°) (anecdotique) Les travaux de la MQ remettent cause la possibilité même d'utiliser une algèbre de Boole comme ensemble d'événements mais bon on va dire qu'à l'échelle macroscopique courante il n'y a pas de problème... Par contre le bayésianisme comme vérité absolue non.

Foys · November 2020

Pour l'explication de Monty Hall: disons que si vous jouez 3 millions de fois à ce jeu, la nature vous offre la garantie que la première porte que vous désignez cache le chèque derrière elle environ un million de fois (entre 990000 et 1010000 pour avoir un intervalle de confiance radical: Hoeffding fournit un l'inverse d'un nombre à 23 chiffres sauf erreur; si ce n'est pas une garantie pour vous, arrêtez de voyager en avion ou même de sortir dans la rue...).

Alors la stratégie consistant à changer de porte gagne si et seulement si la première porte désignée n'a pas le chèque derrière elle et donc elle gagne entre 1910000 et 2010000 fois, sur les 3000000.

Georges Abitbol · November 2020

christophe c a écrit:

J'avoue ne toujours pas comprendre cette situation éthique: un "théorème" .. faux, célébré comme "formidable" par des .. scientifiques? J'ai loupé un épisode?

Alors, je reformule un peu. Attention, je raconte l'histoire de la manière dont je la vois. Mon but dans ce fil, c'est de savoir ce que vous pensez de cette histoire ; pas de vous convaincre que j'ai raison.

Un théorème mérite de s'appeler "de Cox-Jaynes" s'il est de la forme : "toute fonction qui vérifie certains axiomes la forçant à correspondre à l'idée (enfin, l'idée que se fait une certaine communauté) de ce que doit être une fonction de plausibilité est, à "isomorphisme près", donnée par les probabilités conditionnelles par rapport à une certaine mesure de probabilité.

Un tel théorème ne me semble pas exister. Tout au plus, il existe des théorèmes de ce style avec de fortes hypothèses techniques qui sont difficiles à justifier d'un point de vue épistémologique. Pour tenter une comparaison probablement très imparfaite, regardons l'énoncé du théorème de Noether que donne la page wiki française : "À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.". Christophe, tu avais ouvert un fil à ce propos et avais pu constater que l'énoncé précis est, à peu de choses près, un corollaire du lemme de Schwarz de l'interversion des dérivées secondes, n'est-ce pas ? Bon, eh bien, le caractère "deux fois différentiable" peut être considéré une hypothèse technique, qui n'a pas forcément de sens physique, et n'est d'ailleurs pas mentionnée dans l'énoncé ci-dessus. Ben là, c'est un peu pareil : le seul théorème vrai dont j'ai pu trouver l'énoncé fait une hypothèse du style "tout réel entre $0$ et $1$ doit être la plausibilité de quelque chose" ; en particulier, cela exclut les univers finis, ce qui est problématique pour les gens qui font de l'IA, travaillent sur des ensembles finis et s'abreuvent des conséquences philosophiques du théorème.

Le théorème vrai dont je parle est dû à Cox et date des années 40. Je n'ai pas lu la référence d'origine, mais il semble que cet énoncé n'a pas intéressé grand monde jusqu'à la publication, en 1995, d'un livre de Jaynes (modestement) appelé "The logic of science", où Jaynes énonce le théorème vrai en oubliant de recenser ses hypothèses (mais dans la démonstration, on voit évidemment à quel endroit il les utilise). Si je voulais être mauvaise langue, je dirais que Jaynes ne se rend même pas compte qu'il suppose plus que ce qu'il annonce, mais ce serait se moquer un peu, je n'en sais rien.

Il y a donc un théorème vrai, mais dont l'énoncé s'est diffusé de manière vulgarisée sous la forme "toute notion de plausibilité qui est consistante est isomorphe à la théorie des probabilités (bayésiennes)" ; et j'ai l'impression qu'au total, il y a, parmi la communauté scientifique :
- beaucoup de monde qui croit la version vulgarisée vraie ;
- un certain nombre de personnes qui connaît la version précise (mais fausse car oubli d'hypothèses) énoncée par Jaynes et la tient pour vraie ;
- un petit nombre de personnes qui sont au courant que la version énoncée par Jaynes est fausse mais soutiennent quand même que le théorème vulgarisé est "moralement vrai".

En tout cas, ce théorème a inspiré beaucoup de monde, et notamment des personnes travaillant dans l'IA. Si je comprends bien, les algorithmes d'IA fonctionnent un peu de la façon suivante : on ajuste les paramètres de l'algorithme en faisant subir des séances d'essais-erreurs à l'ordinateur. Ces personnes voient là-dedans la formule de Bayes, et, aveuglés par les succès empiriques de leurs méthodes, en déduisent que la formule de Bayes est la formule la plus importante de l'histoire des sciences. Et, comme il y a un "théorème" qui consacre cette formule comme étant "la seule consistante", elles sont aux anges !

Et oui, partant de là, ces personnes font comme dit Foys :

Foys a écrit:

Après quoi un certain public décide d'en déduire qu'on a le droit de parler de "la probabilité conditionnelle de X sachant Y" quand X et Y sont absolument n'importe quoi (exemple: "la probabilité de trouver le chèque derrière cette porte-ci si le présentateur a ouvert cette porte-là").

Mais, Christophe, si tu regardes par exemple la page wiki en anglais du théorème de Kochen-Specker, tu peux te rendre compte qu'il est impossible d'en extraire un énoncé mathématique précis (sans déjà savoir de quoi il s'agit). Pareil, pour le théorème de Gödel, il n'est pas rare de le voir mal cité par des scientifiques (oubli d'hypothèses, etc.) ! En fait, j'ai l'impression que, plus un théorème mathématique a une portée épistémologique forte, moins il y a de monde qui connaît l'énoncé précis...

@Foys : Je n'ai vu que de très rares commentaires au sujet du fait qu'il est déjà très engagé de supposer que les plausibilités devraient être totalement ordonnées. D'ailleurs, c'est plutôt le contraire : les gens disent que le théorème de Cox-Jaynes est une généralisation de la logique, où les valeurs de vérité ne sont que $0$ et $1$ (ce qui montre l'étendue de leur culture).

Ensuite, que le "bayésianisme" soit naturel chez l'humain, je suis d'accord avec toi que c'est une idée intéressante ; c'est assurément une piste de recherche en neurosciences et sciences cognitives.

Enfin, quand tu dis

Foys a écrit:

LE BAYESIANISME EST UNE COLLECTION D'ERREURS DE LOGIQUE.

est-ce que tu peux être plus précis ? En fait, j'ai du mal à voir plus dans le bayésianisme qu'une vague monomanie de la formule de Bayes.

christophe c · November 2020

Merci GA!

Reste pour moi, avouant être ignare sur ce point l'aspect "Bayes". Je ne le connais pas (dans sa version "politique impérialiste")?
Pour KS, c'est un corollaire de Gleason qui lui est trop sérieux pour que les gens aient oublié les hypothèses :-D

Mais en soi KS c'est juste un énoncé d'algèbre linaire.

christophe c · November 2020

Pour les visiteurs intéressés, je donne l'énoncé formel de KS.

Soit $E$ un espace hermitien de dimension finie, au moins 3. Soit $n$ un entier au moins égal à 2.

Soit $w$ un vecteur de $A:=E\otimes E\otimes E\dots$, (en répétant la lettre $E$ $n$ fois).

Notons $R(w)$ l'ensemble des couples $(u,v)$ où :

1/ $u$ est un n-uplet de bases orthonormées de $E$

2/ $v$ est un n uplet de vecteurs de $E$, tel que $\forall i: v_i\in u_i$ et tel que l'unique décomposition de $w$ sur la base de $A$ induite par les bases fournies dans $u$ donne un facteur scalaire non nul à l'élément $v_1\otimes v_2\otimes ..$

KS est juste la remarque qu'à moins de le faire violemment exprès, il n'existe pas de n uplet $f$ de fonctions choix qui à chaque $u$ associe $v:=(f_1(u_1), f_1(u_2), ..)$ tel que $(u,v)\in R(w)$.

C'est une expression du phénomène dit de "corrélations quantiques à distance" de la théorie quantique.

C'est un corollaire du théorème de Gleason qui lui est plus court à énoncer et bien exposé sur wikipedia, qui dit que la seule façon d'associer des probabilités à des sous-espaces vectoriels d'un espace hermitiens (ou même euclidien) de façon que l'orthogonalité représente l'incompatibilité et respectant la croissance pour inclusion est de le faire tel qu'affirmé dogmatiquement par la théorie quantique, à savoir que quand un oeil (qui est une base orthonormée $e$) regarde un vecteur $u$, la probabilité*** que cet oeil voit $u$ être égal à $e_i$ est proportionnelle au carré de $|<u|e_i>|$. Les hypothèses en plus sont la continuité, mais dans mon souvenir, je me demande même si c'était nécessaire ou juste parce que la preuve est plus pratique à exposer à des étudiants avec la continuité, je ne sais plus.

*** c'est en fait mal dit comme ça (mais hélas consacré), puisque en fait il vaudrait mieux parler de "proporition des mondes où l'oeil voit" plutôt que "proba que l'oeil voit", vu que quantiquement, les mondes où l'oeil voit autre chose ne disparaissent pas, mais peu importe ici.

Georges Abitbol · November 2020

Pour moi, c'était plutôt : si $H$ est un Hilbert complexe de dimension au moins $4$ (je ne sais plus si $3$ marche pour cette version). Notons $S(H)$ sa sphère unité. Alors il n'existe pas d'application de $S(H)$ vers $[0,1]$ telle que pour toute base orthonormée de $H$, exactement un élément de la base est envoyé sur $1$.

Dans Gleason, pas de continuité, il me semble !

christophe c · November 2020

Ton énoncé est un cas particulier (ou plutôt un exemple) de w. Mais en fait quasiment N'IMPORTE QUEL VECTEUR marche. La rareté c'est quand c'est local :-D

Georges Abitbol · November 2020

Hahahahaha ben alors ton théorème, tel quel, je ne l'ai jamais vu.

Mais attends un peu. Si $w$ est non nul, comment sa décomposition dans une base pourrait être nulle ? Tu peux être plus précis ?

Pour moi, tu écris : $R(w)$ est l'ensemble des couples $(u,v)$ où
1) $blabla(u)$
2) $truc(u,v)$
3) $machin(u,w)$

(avec $blabla = $"être un $n$-uplet de bases...", $truc = $"être un $n$-uplet de vecteurs et appartenance coordonnée par coordonnée..." et $machin =$"la décomposition de ... sur ... est non nulle").

Or, tel que tu as énoncé ton truc, il me semble qu'il est évident pour tout $u$, il existe $v$ tel que $truc(u,v)$. Par là, tout $n$-uplet de fonctions de choix marche...

Bref il me semble que dans ton 2), tu dois apporter des précisions.

EDIT : Sans parler du fait que tu as probablement voulu écrire $f_2(u_2)$ sans quoi la référence à un $n$-uplet $f$ de fonctions de choix semble superflue.

christophe c · November 2020

J'avais oublié des mots, je les ai remis en rouge, PARDON.

Est-ce que tu peux me parler du "paradigme bayésien" en quelques mots? (Pas de la formule, mais du slogan qui dit qu'elle "bonne de chez bonne")?

Georges Abitbol · November 2020

Ah ok je comprends mieux avec les mots en rouge. Mmmmh en tout cas je maintiens que je n'ai jamais vu KS énoncé sous cette forme ! Mais en fait, pas mal de magies quantiques sont de cette forme avec un $w$ particulier et un ensemble $U$ fini et où la conclusion est "il n'existe pas de $n$-uplet $f$ de fonctions de choix tel que pour tout $u$ dans $U$ ...", n'est-ce pas ?

Le "paradigme bayésien", je ne sais pas trop comment le définir fidèlement, ni comment l'énoncer sans le rendre ridicule. Mais c'est un peu comme dit Foys : c'est

croire que pour tout $X$ et $Y$, il y a un truc bien défini appelé "probabilité conditionnelle de $X$ sachant $Y$", le tout satisfaisant la formule de Bayes ;

ET

(croire que c'est la seule façon consistante de raisonner OU croire que c'est la meilleure OU croire que c'est bien mieux que le fréquentisme OU etc.)

christophe c · November 2020

Exactement, on s'est parfatement compris. On n'a pas besoin de tout $U$.

Pour Bayes, c'est le "c'est la seule" qui m'intéresse le plus" les autres pouvant être alimentées par elle.

C'est un peu la question de se demander si un ordre total doit obligatoirement être étudié comme $\R$ (ou un de ses segments) dans le contexte machin.

Mais comme apparemment l'hypothèse d'ordre total est mise par CJ, ça tue dans l'oeuf tout débat. C'est un peu comme l'entropie et la quantité de chaleur dont les relations entre elles sont définies par Feynman prétendant traduire le raisonnement abstrait de Carnot.

Tout ordre total dense et infini est tel que $\Q$ s'y plonge (et donc $\R$ à peu de choses près "in pure practise")

Mon expérience affectivement sensible du fait que le quantique se voit partout dans notre monde me dit que c'est exactement cette hypothèse qui fait faire n'importe quoi (totalité + transitivité = préordre total)

Le quantisme montre que non seulement on n'a pas la totalité, mais qu'en plus on n'a pas la transitivité. Ca a conduit à bien des erreurs dont on a pu constater que les habitudes le rendent peu visibles (j'en ai plusieurs parlé avec "si je montrais la porte du paradis à ton copian que me répondrait-il?) qui rien que dans la production du conditionnel dans les langues humaines produit tellement d'exemples que ça devrait aveugler alors que ce n'est "même pas vu" (et je parle de professionnels, par exemple, il y a autant sinon plus de profs de lycée-collège qui utilisent l'expression "si ce triangle était rectangle" à la place de "si ce triangle est rectangle")

On peut aussi prouver (mais avec AD, autrement dit en considérant des jeux fabriqués sans l'axiome du choix) que cette notion de probas conditionnels n'est pas consistante, juste avec .. des boréliens.

Je vais essayer de lire des pages internet sur Bayes écrites par des fans de Bayes pour me rendre compte de cette approche politique. Pour les visiteurs qui ne comprennent que puoic, il existe une différence CLINIQUE FASLSIFIABLE entre les deux situations suivantes:

1/ Tirer un sort ) 14h (en lançant un dé) un chiffre parmi 123456, le ranger dans une boite opaque close et demander à Bil de parier sur le contenu de la boite à 15h et l'ouvrir à 16h

2/ Demander à Bil de parier sur le contenu de la boite à 14h et faire le tirage à 15h (et mettre le dé dans la boite pour l'ouvrir à 16h)

Or ces deux situations sont systématiquement et par préjugé considérées comme indiscernables. Il suit que la Nature (oeuvrant quasiment tout le temps dans la brèche de la différence entre ces deux situations) est très méchante avec nous quand on commence à dire qu'un truc est plus plausible qu'un autre.

C'est aussi illustré dans le livre de Feynamn (hélas démontré à coup d'AXIOMES quantiques) par le fait que la lumière semble se déplacer en ligne droite ... à condition qu'on la laisse faire. Sinon, ça l'énerve (si par exemple on met un cylindre ultrafin pile poil autour de la trajectoire QU ELLE AURAIT EU SANS CYLINDRE) et elle fait n'importe quoi.

Ca mène trop loin, mais il y a des tas de conséquences de AD qui font penser à la même chose (un truc n'arrive toujours de la même façon qu'à la condition qu'on ne le force pas) et là sans aucun axiome (ce sont des maths).

christophe c · November 2020

On a même un exemple ultrafamilier dans nos activités de profs et chercheurs expliquabnt à un étudiant qu'on n'accepte pas sa preuve parce qu'à un moment donné ce qu'il a dit à propos de Truc ne marcherait pas avec Machin (et l'exemple réside dans le fait qu'aussi nul soit-il l'étudiant ne pense JAMAIS à répondre "normal, c'est machin, pas truc", chose dont peuvent se féliciter les pédagogues des sciences, parce qu'ils seraient bien embêtés face à une telle réplique, le principe de dégradation scientifique ne s'exposant pas en 10mn et surtout n'étant probablement pas l'explication de l'instinct d'acceptation)

Foys · November 2020

christophe c a écrit:

Je vais essayer de lire des pages internet sur Bayes écrites par des fans de Bayes pour me rendre compte de cette approche politique. Pour les visiteurs qui ne comprennent que puoic, il existe une différence CLINIQUE FASLSIFIABLE entre les deux situations suivantes:

1/ Tirer un sort ) 14h (en lançant un dé) un chiffre parmi 123456, le ranger dans une boite opaque close et demander à Bil de parier sur le contenu de la boite à 15h et l'ouvrir à 16h

2/ Demander à Bil de parier sur le contenu de la boite à 14h et faire le tirage à 15h (et mettre le dé dans la boite pour l'ouvrir à 16h)

Euh non, pas tel que c'est énoncé...

Foys · November 2020

Il n'y a pas de quantique à l'échelle macroscopique (la nôtre), même les paradoxes de comportement de la lumière peuvent être évacués dans le principe de moindre action requalifié en axiome (il n'est pas causal seulement dans un sens assez naïf).

christophe c a écrit:

On a même un exemple ultra-familier dans nos activités de profs et chercheurs expliquant à un étudiant qu'on n'accepte pas sa preuve parce qu'à un moment donné ce qu'il a dit à propos de Truc ne marcherait pas avec Machin (et l'exemple réside dans le fait qu'aussi nul soit-il l'étudiant ne pense JAMAIS à répondre "normal, c'est machin, pas truc"

Ce sont les fois où l'étudiant dit "$A[x:=t]$ parce que $\forall x:A$" et se fait recadrer car on connaît des $s$ tels que $\neg A[x:=s]$.
Les malentendus sont cachés dans le manque absolu de distinction explicite entre lettres libres et liées comme d'habitude.

Au niveau des maths élémentaires scolaires on ne découvrira JAMAIS de contradiction dans les théories naïves employées parce que quasiment tout a déjà été essayé en gros. C'est un pari très peu dangereux que de le dire, bref si l'étudiant se trouve dans cette situation, c'est qu'il n'a pas prouvé le théorème.

christophe c · November 2020

Je te répondrai demain Foys. De mon pc.

Je te mettrai des exemples.

De mon téléphone je le fais avec l'infini mais ça te donne le principe.

Tu as une boîte avec un entier p dedans et tu dois parier un entier n. Tu gagnes si n>p.

Bon bin la "proba" de gagner est nulle pour tout entier n.

Tu as deux boîtes. Tu peux en ouvrir une et faire le pari sur l'autre. Bon bin la tu as 1/2 de gagner.

Mais à condition que les entiers soient déterminés. Ie classiquement fixes et cachés. Le raisonnement (je dis bien le RAISONNEMENT) ne s'applique pas sans ça.

C'est juste la non cmmutativite des "pour presque tout".

Même quand tout est fini on a des exemples en autorisant des paris qualitatifs (de Tukzy tel que défini ds ma thèse).

Attention tu n'auras pas de différences d'espérances de gain numérique. Ce n'est pas numérique. C'est qualitatif. Tu en sais plus sur l'objet resté dans la boîte fermée quand tu as ouvert sa voisine et ce sans supposer AUCUNE corrélation entre les deux.

Georges Abitbol · November 2020

Je traduis :

1) Il n'y a pas de stratégie $s$ telle que pour tout $p$, $s$ annonce un entier strictement plus grand que $p$.
2) Il existe deux stratégies $s_1$ et $s_2$ tel que pour tout couple d'entiers $(n,p)$, $s_1$ donne un entier strictement plus grand que $p$ si on lui donne $n$, ou $s_2$ donne un entier strictement plus grand que $n$ quand on lui donne $p$ (prendre $s_1 := \ annoncer\ n+1$ et $s_2 := \ annoncer\ p+1$).

Mais de là à dire

christophe c a écrit:

Pour les visiteurs qui ne comprennent que puoic, il existe une différence CLINIQUE FASLSIFIABLE entre les deux situations suivantes:

1/ Tirer un sort ) 14h (en lançant un dé) un chiffre parmi 123456, le ranger dans une boite opaque close et demander à Bil de parier sur le contenu de la boite à 15h et l'ouvrir à 16h

2/ Demander à Bil de parier sur le contenu de la boite à 14h et faire le tirage à 15h (et mettre le dé dans la boite pour l'ouvrir à 16h)

je sais pas trop...

christophe c · November 2020

Bin le fait que tu puisses écrire :

"pour tout (n,p) l'un des $s_i$ blabla"

Mais pas l'une des $s_i$ est telle que pour tout $n,p$ blabla

Vois le chap 9 de ma thèse si tu veux. On a un "pour toute config, 9/10 des strats gagnent" qui n'est pas remplaçable par 9/10 des strat marchent " (tout court). Le fait de demander de quantifier avant sur la config est l'annonce qu'elle est "supposée fixée" si tu préfères.

Pour tout n, tu es sûr que presque tout p est plus grand que n
Par contre, tu ne peux pas dire qu'en tirant p au hasard, il sera plus grand qu'un n ... qui n'a pas encore été tiré (qui le sera après p).

Après évidemment, pour digérer tout ça, faut ABSOLUMENT prendre une position de doute face à nos éducations normantes sur la linguistique. Le LANGAGE est le dresseur le plus efficace de nos pensées. Il faut donc le tenir à distance.

@foys, je te répondrai plus tard: le quantique EST OMNIPRESENT dans le macroscopique (à commencer par le fait de faire exister les solides, ou par le fait de te permettre sans être discontinu de répondre $y$ loin de $x$ tout en étant dans $[0,1]$ face à n'importe quel $x$).

J'ai toujours été fasciné par "ton refus" de voir le quantique dans le macro (qui tu n'annonces pas aujourd'hui pour la première fois). Idem quand tu dis "on n'a qu'à ajouté le principe de moindre action comme axiome". Sauf que tu exprimes avec UNE PUDEUR DE GAZELLE son caractère totalement magique comme si c'était un détail :-D

En fait, je sais que tu sais que les quantificateurs probabilistes ne commutent pas, mais tu exprimes PAR SOUS ENTENDU une minimisation de cet état de fait qui semble désirée ou idéologique. Ou pour le dire autrement, tu exprimes PAR SOUS ENTENDU une sorte d'affirmation de Fubini (enfin il serait mieux de dire "du Fubinisme") qui est idéologique.

christophe c · November 2020

foys a écrit:

Les malentendus sont cachés dans le manque absolu de distinction explicite entre lettres libres et liées comme d'habitude.

Tu connais mon attachement à ça, donc, je ne détaille pas. Mais "ça" (les liaisons de variables) ne constituent pas "une explication" à "pourquoi les utiliser". Tu expliques juste que les ignorer posent des problèmes dans NOTRE contexte linguistique.

Je vais être plus précis:

- Elève Bil: Msieur FauxFoys, j'affirme que $\forall x: x>8$.
- FauxFoys: non, si $x=6$, c'est faux.
- Mais je suis bien d'accord Monsieur, vu que $x\neq 6$

La moyenne des pédagos n'est pas d'introduire la liaison (comme tu sais et hélas), mais le conditionnel

- Elève Bil: Msieur agrégéLambda, j'affirme que $\forall x: x>8$.
- AgrégéLambda: non, si $x$ était égal à $6$, ce serait faux.

Sachant qu'il reste la question de la possibilité d'enseigner la liaison à un esprit honnête mais entêté.

Concernant les pièges du langage, j'apporte un témoignage amusant. Je me suis amusé à produire des textes X, à les traduire en arabe Y avec google et à traduire Y en français avec google.

Le résultat est édifiant. Quand X introduisait un doute sur des propagandes religieuses, Z, de par la structure de l'arabe encore très influencée par ses racines religieuses RETIRAIT (sans que personne ne le fasse exprès, c'est un algorithme google froid) le doute et transformait X en une plaidoyer de l'évidence de Allah.

Plein de fois, je me suis retrouvé avec des mots comme "générosité" par exemple dans X, devenus "bénédiction" (notion religieuse) dans Z.

Etc. Je n'ai pas le temps de recommencer à vide juste pour l'exemple, mais il est important de comprendre à quel point le langage est proteur d'axiomes complètement gratuits et quand on s'y habitue,

on finit par croire que c'est "naturel" alors que ce n'est qu'une habitude. Précisément pour être concrets, plein d'interventions twitter où je dénonçais l'utilisation de la générosité (par exemple les assoc qui font de la pub à l'Islam en se cachant derrière des actes de générosité et donc tentent d'associer la générosité à la religion pour la valoriser) et où j'utilisais le traducteur,

j'étais "trahi" (et je dis bien trahi PAR LE TRADUCTEUR GOOGLE) qui sortait un texte où la générosité (devenue "bénédiction, bienfaisance, etc) était présentée (PAR LA LANGUE ET NON PAR LE DOGME) comme une quasi DEDUCTION de la religion. De sorte que j'avais l'air "bête et illogique" en affirmant que X fait de la pub à X en se présentant comme étant X au lieu de X fait de la pub à X en se présentant comme étant Y

Ces mécaniques de langue sont absolument importantes. A ce titre les logiques faibles peuvent avoir une grande utilité!

christophe c · November 2020

Je reviens aussi au paradoxe d eMonty Hall qui présente ces artifices de manière trompeuse. D'ailleurs il est vraiment TRES MAL exposé sur wikipedia.

Dans Monty Hall, on a 2/3 de gagner car on "traite deux portes sur 3". Cependant, c'est présenté en utilisant L'AXIOME GRATUIT que le gardien SAIT un contenu (donc ça suppose ce contenu déterminé). Et comme vous avez semblé le dire tous deux, ça a fait se planter des gens brillants, au sens "se planter pendant plus de 10mn" et pas par étourderie.

Je rappelle le jeu:

3 boites fermées. Une et une seule contient un trésor. Le joueur peut en ouvrir 2 (et partir avec une des deux). Il a 2/3 de proba de gagner.

En fait, pour le fun, les gens l'ont découpé en 2 versions:

- il en ouvre une et en choisit une "après"

- Il demande au gardien d'en ouvrir une MAIS une parmi les deux qu'il autorise à son choix (il a le droit d'interdire au gardien d'en ouvrir une). Et là, on introduit subrepticement que le gardien, omniscient de ce contexte n'ouvrira forcément qu'une des boites vides.

Les cerveaux sont donc "perdus" par ces diversions inutiles parce qu'on "leur vend" une fixité comme si elle était "inoffensive". Il en va de même quand on donne un sens à un sondage présidentiel ou au mot musulman: dans un cas le sondé changera peut-être d'avis (et la théorie mathématique utilisée est celle qui suppose que non, et dans l'autre cas, on "accuse" Lidia qui déclare croire au dogme à 17h1432s le 8/7/2031 d'être hors de la possibilité de changer d'avis d'ici au 15/9/2034 et on la "fixe" dans une accusation qu'elle sera toute sa vie croyant en le dogme Truc.

De même, dans la non localité quantique. La superposition des états r:=(a,a) + (b,b) (gauche sur Terre, droite sur Mars pour les couples), qui fait que si l'oeil de base (a,b) voit a à gauche alors il est sûr A JUSTE TITRE que son pote de Mars voit aussi a autorise célèbrement à choisir son oeil sur Terre (par exemple la base (u:=a+b,v:=u-v)) donnant que 2r = (u+v,a) + (u-v, b) = (u,a+b) + (v,a-b)) de sorte que le Terrien qui regarde et voit v dira "je suis sûr" (et il a raison!!!!!) que sur Mars, l'état est a-b. Or à ce même moment, sur Mars, l'oeil utilisé a (par caprice) été (a,b) et la vue a été b (et donc à ce même moment sur Mars, le gars est sûr que l'état vu est b (et non pas a-b).

Ces apparents conflits proviennent BETEMENT (mais surement et ça mérite d'être rappelé) de ce qu'on:

1/ applique de la transitivité à une relation qu'on veut voulant dire "indiscernable"
2/ Qu'on fait des hypothèses $\forall Monde:blabla$ tacites parce qu'on pense qu'il y a un unique monde.

Georges Abitbol · November 2020

christophe c a écrit:

De même, dans la non localité quantique. La superposition des états r:=(a,a) + (b,b) (gauche sur Terre, droite sur Mars pour les couples), qui fait que si l'oeil de base (a,b) voit a à gauche alors il est sûr A JUSTE TITRE que son pote de Mars voit aussi a autorise célèbrement à choisir son oeil sur Terre (par exemple la base (u:=a+b,v:=u-v)) donnant que 2r = (u+v,a) + (u-v, b) = (u,a+b) + (v,a-b)) de sorte que le Terrien qui regarde et voit v dira "je suis sûr" (et il a raison!!!!!) que sur Mars, l'état est a-b. Or à ce même moment, sur Mars, l'oeil utilisé a (par caprice) été (a,b) et la vue a été b (et donc à ce même moment sur Mars, le gars est sûr que l'état vu est b (et non pas a-b).

Euh, quand tu dis que le terrien qui choisit l'oeil (a+b,a-b) et qui voit a-b est sûr que sur Mars, l'état est a-b, je trouve la formulation un peu bizarre. Tout ce dont il est sûr, c'est que si le martien regarde aussi avec l'oeil (a+b,a-b), il verra a-b. Mais ça ne veut pas dire que l'état du martien est a-b (justement, c'est le "problème de l'intrication" : un état pur pour un système composite ne définit quasiment jamais des états pur pour ses composantes).

Foys · November 2020

christophe c a écrit:

Vois le chap 9 de ma thèse si tu veux. On a un "pour toute config, 9/10 des strats gagnent" qui n'est pas remplaçable par 9/10 des strat marchent " (tout court). Le fait de demander de quantifier avant sur la config est l'annonce qu'elle est "supposée fixée" si tu préfères.

L'exemple finitiste et classique des "tests de maladies rares" fournit un exemple de ça sans le barnum quantique.

Il consiste en la chose suivante: $\Omega$ est un ensemble fini grand (ex: population française). $P:= A\subseteq\Omega \mapsto \frac{card(A)}{card(\Omega)}$. Pour tout $B\subseteq \Omega$ on note $B^c = \Omega \backslash B$.

Un ensemble $M\subseteq A$ (ensemble des gens malades), tel que $\frac{card (M)}{card (\Omega)}$ est petit, mettons $\frac{1}{10000}$.
il y a un test de cette maladie. On note $T$ l'ensemble des gens que le test déclare malade.
Les hypothèses sur le comportement du test sont:
1°) $P(T|M) = \frac{99}{100}=99\%$ et
2°) $P(T^c|M^c) = 99\%$.

que peut on en déduire sur la fiabilité du test (i.e. $P(M|T)$)?
en fait $P(M|T)$ est petit, car $$P(T)\geq P(T|M^c)P(M^c) = \frac{1}{100} P(M^c) \geq \frac{1}{100} (1 - P(M)) = \frac{9999}{10000}\times \frac{1}{100} = 99.99 \times P(M)\tag 1$$ et donc la proportion de testés positivement dépasse très largement celle des malades!!
Vous avez en fait $$P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} \leq \frac{P(M)}{P(T)} \leq 1.01%$$.

D'autre part c'est abusif de qualifier les mesures de probabilité de quantificateurs.
Comme un quantificateur est moralement un objet de type $(U \to phrase) \to phrase$ et une proba bayésienne un objet de type $(U \to phrase) \to \R$ (une proba fréquentiste est de type $\prod_{n\in \N} ((U^n \to phrase) \to \R)$ ce qui est bien plus propre B-))il faut vraiment regarder les choses autrement.

christophe c · November 2020

Je ne sais pas pourquoi nous avons un genre de dialogue de sourds. Je ne vois pas en quoi tu réponds à mes remarques. Je ne pointais pas l'erreur populaire et très classique (mode scolaire) sur les tests de maladies rares (si le test se trompe pour 1 personne sur 1000 alors qu'il n'y a qu'un miilairdieme de malades, il inquiètera 1 million fois plus de gens qu'il y a de malades en les déclarant malades).

Pour les quantificateurs je pense que tu m'as compris non?

christophe c · November 2020

@foys

De mon téléphone

1/ je n'ai pas du être très clair

2/ tu as dû lire trop vite.

Comme tu as parlé de Monty Hall et étant sur mon téléphone je ne vais qu'une petite partie partielle de ce que j'ai dit pour fixer ta lecture.

Dans Monty Hall, l'honnêteté extrême langagière commande de dire que le joueur ouvre 2 portes (et choisis celle qu'il veut parmi elles) et donc a 2/3 de gagner.

Lorsqu'on corse exprès pour berner les gens, on INTRODUIT DES TRADUCTIONS langagières qui implémentent dans l'histoire le PREJUGE UNIMONDE (je sais que tu l'aimes :-D ) permettant de passer sous silence les histoires où le joueur par avec le trésor PARCE QUE LE GARDIEN a ouvert la en le couvercle de la boîte où il y a le trésor.

Ça passe inaperçu parce que l'idée MATERIELLE que le gardien SAIT où se trouve le trésor est peu coûteuse en apparence. Mais en fait, ça supposé un nombre incroyable de trucs démentiels :

- qu'on 'e lui ait pas menti ou qu'il voit à travers les parois

- que le trésor est immobile et ne saute pas par téléportation d'une boite à l'autre.

Ces "grosses habitudes" sont traduites en mettant un quantificateurs sur le contenu AVANT dans les récits scolaires.

christophe c · November 2020

Je n'ai enfaite évoqué le quantique pour rappeler qu'on peut mesurer si un truc est dû au vrai hasard ou pas c'est tout. Autrement "être aléatoire" a un sens physique et MESURABLE. C'est plus "juste la philo".

Par ailleurs dans la langue ça se traduit par le fait que on n'a pas deux sens: lecture de gauche à droite , lecture de droite à gauche (et donc une seule implication en la confondant avec sa transposée).

Mais une infinité de sens de lecture (le cercle unité avec des implications qui forment la droite projective pour faire une image) et donc on practise pas d'implication du tout.

On le savait déjà (entre l'oeil qui regarde une feuille de papier de face vs celui qui l'a regarde par la tranche) pour des concretudes rudimentaires mais il faut y faire quand c'est des concepts logiques.

Foys · November 2020

christophe c a écrit:

1/ je n'ai pas du être très clair

Je suis assez d'accord.

christophe c a écrit:

Dans Monty Hall, l'honnêteté extrême langagière commande de dire que le joueur ouvre 2 portes (et choisis celle qu'il veut parmi elles) et donc a 2/3 de gagner.

Monty Hall a été un vrai jeu diffusé à la télévision. Et oui la formulation est faite pour enfumer, cependant:

christophe c a écrit:

Ça passe inaperçu parce que l'idée MATERIELLE que le gardien SAIT où se trouve le trésor est peu coûteuse en apparence. Mais en fait, ça supposé un nombre incroyable de trucs démentiels :

C'est ce qui est prévu par le jeu et le gardien place en fait le trésor lui-même.

christophe c a écrit:

- que le trésor est immobile et ne saute pas par téléportation d'une boite à l'autre.

un objet macroscopique de 10^25 atomes qui se téléporte?
C'est à cause de ce genre de propos que j'ai de plus en plus de mal à supporter les déclarations tonitruantes des promoteurs de la théorie des jeux quantique (ou autre appellation, les applications les plus directes de Kochen Specker en gros) alors que je n'ai rien contre le remplacement, en tant que modèle(*) de l'ensemble des événements, de la structure d'algèbre de Boole par celle de treillis des sous-espaces vectoriels fermés d'un Hilbert.

[size=x-small](*) au sens des physiciens: représentation (simplifiée) d'une chose en termes mathématique[/size]

christophe c · November 2020

Je crois qu'au fond de toi, surtout, tu crois ou souhaites croire au principe de la réduction du paquet d'onde.

Concernant le "saut" du trésor je ne voulais aucunement évoquer des sauts quantiques mais signaler comment la constance de sa place au cours du jeu influe sur LA LINGUISTIQUE utilisée ensuite pour traiter le problème.

Foys · November 2020

christophe c a écrit:

Je crois qu'au fond de toi, surtout, tu crois ou souhaites croire au principe de la réduction du paquet d'onde.

:-D Ces choses que projettes sur moi depuis tout à l'heure.
En fait le sens de cette expression "réduction du paquet d'onde" n'est même pas clair à mes yeux.

Il n'y a pas besoin de paquet d'onde pour retrouver le fait que le monde macroscopique courant est ouvertement classique et déterministe (conforme aux conclusions de la mécanique classique) en très très très bonne approximation. C'est ce qu'a fait Feynman au fond avec son intégrale de chemin et le RPO n'est même pas cité dans son travail.

christophe c · November 2020

Là, tu te trompes vraiment. Les intégrales de chemin de Feynman ne permettent pas du tout de changer la problématique quantique, ni d'expliquer les apparences classiques.

Je pense que les implicites de Feynman ne t'ont peut-être pas apparu.

La situation est très simple:

1/ LA TQ prédit des superpositions

2/ Elles peuvent être ou ne pas être paradoxales en ce sens que quand il n'y a pas d'interférences quantiques cohérentes, elles ont des comportements de superpositions "de genre statistique" d'histoires auxquelles nous sommes habitués.

3/ Dans chacune des histoires, les choses, en allant vite, se passent classiquement... sauf qu'il faut tout admettre (les solides, la chimie, le principe du moindre action, etc, au titre d'axiomes). Et en fait, en y regardant de plus près, ce n'est pas ce qu'on peut appeler "classique" (tu évites 45 fois par jour des poutres fixes en les contournant et ton pc envoie 1 milliards de fois par seconde $\R$ dans $\Z$ de manière .. continue) etc.

4/ Le RPO est juste l'affirmation que la superposition devient "subitement" une seule histoire et les autres disparaissent. Ce que j'entendais par "tu crois à la RPO", c'est que Monsieur Foys qui boit son café (mais qui avant de se le préparer a hésité longtemps entre un café et un chocolat est persuadé ou croit, ou veut croire, que le Monsieur Foys qui boit un chocolat dans 40% des mondes n'existe pas :-D :-D C'est tout. Rien de plus. Mais je prétendais impolicitement que ça induit des volontés chez toi de trouver classiques des choses qui ne le sont pas.

Rien à voir, je signale aux gens qui sont prêts à attaquer la TQ ou courageux ou la connaissent déjà que des pièges comme Monty Hall ou etc (en dehors des étourderies) ne marchent plus quand ils auront regardé Marlian Scully (et dans une moindre mesure, divers paradoxes célèbres et documentés de la TQ).

Je donne une version NON PROBABILISTE de ces pièges. Je sais que Foys l'adore (et adore le contester surtout, donc ça lui évitera de le chercher sur le forum).

M1/ On dispose d'une machine à phrases. On tape une phrase à 14h et un voyant s'allume à 15H, vert ou rouge. Si la phrase est vraie c'est le voyant vert, sinon le rouge. Mais "vrai" ne voulant pas forcément dire grand chose, peu importe, il suffit de penser et dire que la machine s'EFFORCE de respecter ce critère.

M2/ Il est très célèbre que si on dit la phrase "le voyant rouge s'allumera à 15h" la machine se trompera forcément. Mais c'est une phrase qui concerne l'avenir et provoque une autoréférence.

M3/ Si on formalise le truc (exercice) en considérant une sorte d'infaillibilité ABSOLUE de la machine de telle sorte qu'on inscrit dans le marbre du langage ladite, mais infaillibilité dans un rôle modeste qui est de .. prévoir le passé, normalement on pourrait penser qu'elle existe.

M4/ Voici un petit exercice amusant: prouver que si je dis la phrase "il est prouvable, à partir de l'idée que tout ce qui est prouvable est vrai (autrement à partir de l'idée que tu allumes vert face à toute phrase prouvable, ça évite le recours à l'ontologiquement religieux "vrai"), que le voyant rouge va s'allumer" alors la machine va allumer forcément son voyant .. vert. (Vous noterez que cette phrase est au passé, l'existence ou non d'une preuve existant depuis la nuit des temps :-D )

M5/ La morale de cette contine est que le passé dépend en partie du présent de manière "active" ou que la notion de gardien ou d'arbitre est invalide à un niveau très rapide. Autement dit que l'idée qui se cache, dans Monty Hall, derrière le gardien est une esbrouffe, malgré son apparence "gentille".

Du coup je rappelle "le squelette" de Monty Hall : vous avez 3 boites, dans une et une seule il y a un trésor, et vous avez le droit de partir avec DEUX d'entre elles (que vous ouvrirez à la maison). Quand vous racontez toutes les histoires possibles, vous verrez vite qu'il y en a 2/3 où vous gagnez. Mais évidemment, si vous n'interdisez pas une boite au gardien, il y a la moitié des histoires seulement où le gardien ouvre une boite vide qui vous fait gagner. A noter aussi qu'interdire une boite au gardien vous ramène dans la situation exact d'en ramener 2 chez vous.

On a des choses continuellement en TQ qui offrent des questionnements en français/anglais similaires, qui résident dans le fait que on peut très bien faire un comptage après facilement sur une feuille pour se demander "ce qu'il se serait passer si on avait eu un oracle magique qui savait que". (ça remplace la "force" qu'il faut pour disposer d'un gardien qui sait où est le trésor: on se contente de barrer les situations où l'oracle n'a pas acccompli nos désirs quand on fait le bilan statistique). De sorte que si vous vous intéressez VRAIMENT à la TQ, vous aurez la joie et le plaisir de faire du Monty Hall à la puissance 10 :-D car il n'y a que ça. Mais n'oubliez pas de regarder de tps à autre M1-M5, qui vous dit que trop poussé cette technique entraine 0=1.

christophe c · November 2020

Pour les visiteurs qui ne connaissent pas la TQ, mais qui connaissent Ba,ach Tarski, je redis la même chose:

1/ vous lui demander de donner 1000000 de points du cube unité

2/ Peu importe qu'ils les choissisent aléatoirement ou pas, mais vous lui demandez de "faire un effort pour que ça le soit

3/ Puis vous faites les stats SUR CE MILLION DE POINTS et sur aucun autre, pour ce qui concerne leur appartenance aux 7 morceaux de BS et lui dites "ha ha, tu vois que tu n'as pas été capable de simuler le hasard. Allez, si tu veux on recommence :-D "

4/ C'est évidemment trivial, mais je rappelle cette notion de "dialogue au bar" car beaucoup de gens l'oublient. BS ne permet pas que de nier le gentillet désir métaphilosophique de mesure invariante. C'est "très concret".

Foys · November 2020

christophe c a écrit:

Concernant le "saut" du trésor je ne voulais aucunement évoquer des sauts quantiques mais signaler comment la constance de sa place au cours du jeu influe sur LA LINGUISTIQUE utilisée ensuite pour traiter le problème.

Merci de l'avoir précisé par contre.

Historiquement les fondateurs de la mécanique quantique (Bohr surtout) affichaient un message anti-réaliste.
Devant les paradoxes expérimentaux il a été envisagé d'abandonner les visions à base de "petites billes" massives qui "se déplacent" selon des "mécanismes" relevant d'un lien de "cause à effet" (digression: l'implication logique n'a rien avoir avec un lien causal et s'exprime sans ce concept) dans un univers "géométrique" extérieur à l'homme. Dans le nouveau paradigme il n'y a plus de "monde" mais une succession d'événements portés à la connaissance de l'individu.
Le but de la physique devient alors de fournir une calculatrice d'événements, permettant de faire des prédictions non pas parfaites mais les plus fiables possibles (ajout tardif: ceci dans la mesure où certains événements sont véritablement impossibles à prédire dans ce paradigme).

Ce qui semble s'être passé par la suite:

Einstein: les petites billes massives existent et la théorie de Bohr ne décrit pas correctement le comportement des objets à grande distance (noter comment dans l'évocation récurrente de ce débat la réponse de Bohr est systématiquement zappée: "ce qui se passe en ce moment à 8 minutes lumière d'ici quand l'autre personne fait la mesure n'a aucun sens expérimental").

Everett: les petites billes massives existent dans les mondes parallèles

David Bohm et al. : les petites billes massives existent et voyagent dans le temps

Wigner (?) le monde n'existe que dans ma tête

Feynman: "shut up and calculate"

Des gens dont j'ai oublié le nom mais dans le sillage de la logique quantique: les petites billes massives existent et la logique est fausse

Théoriciens quantiques des jeux: les petites billes massives existent et Alice peut réaliser des gains impossibles contre Bob au poker avec un ordinateur quantique caché derrière un drap (*)

3 pelés et un tondu dont Foys certains jours :-D(j'ai peu d'intérêt pour ces problématiques et je change souvent d'avis): le monde réel est unimonde et ultradéterministe (exit la "causalité mécanique" - qui n'est pas la causalité relativiste, cette dernière étant en fait seulement une règle de changement de repères). Si un photon émis il y a des milliards d'années avant la formation de la terre arrive droit dans un télescope selon une trajectoire respectant certains critères géométriques précis, où est le problème?
Cette vision fournit très peu d'outils opérationnels mais je l'aime bien car elle n'est pas réfutable (l'expérience de tout un chacun est totalement unimonde) et irrite beaucoup de monde X:-(car elle entraîne que le multimonde (le sens de cette expression réthorique doit être précisé toutefois) n'est pas prouvable- nonobstant son utilité pour énoncer certains faits de manière concise et facile à comprendre: par exemple les ordinateurs quantiques qui dans MWI font simplement du parallélisme.

Tout ça nous éloigne des probas cependant.

[size=x-small](*) alors que dans l'expérience faite en vrai il y a 3 atomes et deux lasers (sans même évoquer le bruit expérimental) mais ils trouvent cette extrapolation légitime et considèrent leurs détracteurs peureux ou ignares ou bêtes et ce malgré l'échec récurrent des sciences à produire des ordinateurs quantiques dignes de ce nom et non pas des prototypes avec un nombre petit de qubits, malgré le caractère totalement irréaliste de ces "laboratoires géants coupés du monde". C'est ce mépris des phénomènes d'échelle qui est critiqué et non pas le caractère "sulfureux" des passages formels.[/size]

Foys · November 2020

Je n'ai pas eu le temps de lire tes longs messages qui n'étaient pas là quand j'ai tapé les miens, je vais les lire!!

Foys · November 2020

NB: les solides n'existent (en toute rigueur) dans aucun paradigme physique ni dans le monde réel où les objets plient etc.

christophe c · November 2020

Je ne suis pas d'accord avec LA FIN (deuxième moitié) sur la non prouvabilité du multimonde. Mais je développerai une autre fois. Et pas non plus avec ta phrase

foys a écrit:

l'expérience de tout un chacun est totalement unimonde

Mais comme dit, je développerai ultérieurement.

Théorème de Cox-Jaynes

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