Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
Bonjour,
je n'arrive pas très bien à comprendre ce qu'est une relation collectivisante. Auriez vous des exemples: un avec une relation collectivisante et l'autre qui n'est pas collectivisante.
En vous remerciant, bonne journée
je n'arrive pas très bien à comprendre ce qu'est une relation collectivisante. Auriez vous des exemples: un avec une relation collectivisante et l'autre qui n'est pas collectivisante.
En vous remerciant, bonne journée
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Réponses
Est-ce que ça pourrait être un truc du style "blablabla est collectivisant" si et seulement si "$\exists x,\ \forall y, \quad y blablabla \Leftrightarrow y \in x$" ?
Si c'est le cas, la relation unaire "être l'ensemble vide" est collectivisante, car, pour tout $y$, $y$ est l'ensemble vide si et seulement si $y \in \{\emptyset\}$.
Et la relation unaire "être égal à soi-même" n'est pas collectivisante, d'après l'argument du barbier.
"Dire qu'une relation est collectivisante c'est admettre qu'étant donné un ensemble B, il existe un et un seul ensemble dont les éléments seront les «objets de la théorie» contenus, (ou inclus) dans B, on dira plus brièvement, les parties de B et on notera P(B) l'ensemble formé des parties de B."
En gros tous les éléments qui vérifient la relation doivent appartenir à un même ensemble ?
Ben oui mais je dirais plutôt qu'une relation est collectivisante si elle équivaut à appartenir à un certain ensemble. Mais attendons confirmation des autres, je répondais au cas où tu étais pressé et où c'était bien ça la réponse, mais je fais peut-être une confusion terminologique !
Je lis et relis et ne comprends pas du tout la notion (je n'arrive pas à la situer dans mon monde, mais je ne sors jamais de ZFC).
Ça s'utilise dans un cadre où les schémas d'axiomes de ZF ne sont pas admis?
Ou c'est pour dire qu'une description est suffisamment précise pour définir un ensemble ex nihilo? (par opposition au schéma de compréhension qui ne définie les ensembles que dans les parties d'un ensemble déjà défini)
auriez-vous un exemple ? Pour avoir les idées plus claires.
Je vous remercie pour vos réponses !
Si on part de la formule de Christophe.
$\exists x,\ \forall y,\ [(R(y))\iff (y\in x)]$
Soit R(y) la relation : $(\forall y)\big((y\in A) \Rightarrow (y\in
Soit $A \subset B$,
j'ai du mal à prouver que $R(y)$ est collectivisante.
[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Exemple : la formule "$x$ est une partie de $\mathbb{R}$" est collectivisante en $x$ : la classe de tous les $x$ qui vérifient cette formule est un ensemble, en l'occurrence $\mathscr P(\mathbb{R})$.
Contre-exemple : la formule "$x$ est un ordinal" n'est pas collectivisante en $x$, car on sait bien que la classe des ordinaux ne constitue pas un ensemble.
En revanche tu peux te poser la question suivante : la formule "$z$ est un couple $(x,y)$ et $x \subseteq y$" est-elle collectivisante en $z$ ?
(Très bon exercice).
Juste pour reprendre l'exemple de Mr. Propre (avant que tu t'attaques au contre-exemple de Martial): ta relation n'est pas collectivisante (si j'ai bien compris le truc), car elle est vérifiée par n'importe quel ensemble qui n'est pas dans $A$ (ou qui est dans $B$), et il se trouve que la collection des ensembles qui n'est pas dans $A$ n'est pas un ensemble (je crois qu'on pourrait en tirer une partie qui ne respecterait pas l'axiome de fondation).
tout dépend des axiomes. Mais si tu veux des exemples célèbres, sans utiliser d'axiomes, ou presque pas, en voici un : la collection
$$R :=(x\mapsto [(x\in x)\to (MPropreEstLePlusRicheDuMonde)])$$
Je te laisse l'exercice ultra célébrissimement célèbre consistant à prouver que si elle est collectivisante alors tu es le plus riche du monde car ça te fera peut-être plaisir de trouver tout seul.
Comme exemple de relation collectivisante :-D . Tu prends $a$ et comme collection $x\to (x\in a)$.
[small]Bon pardon, j'ai respecté les liaisons de variables, n'hésite pas à me dire si ça te gêne: à la place de
$$R:=(y\mapsto y>3)$$
les gens écrivent souvent la relation définie par $R(y):=(y>3)$
En espérant que ça ne te gêne pas trop.[/small]