Ensemble dérivé
Bonjour,
dans le livre de P. Dehornoy sur la théorie des ensembles, page 78 (exemples), il introduit l'ensemble $F=\{0\}\cup \{2^{-n}|n\geqslant 1\}$. On a : $\partial F=\partial ^{2} F=\{0\}$, où $\partial X$ désigne l'ensemble des points d'accumulation de $X$. C'est sans doute trivial, mais pourquoi $\partial ^{2} F=\{0\}$ ?
dans le livre de P. Dehornoy sur la théorie des ensembles, page 78 (exemples), il introduit l'ensemble $F=\{0\}\cup \{2^{-n}|n\geqslant 1\}$. On a : $\partial F=\partial ^{2} F=\{0\}$, où $\partial X$ désigne l'ensemble des points d'accumulation de $X$. C'est sans doute trivial, mais pourquoi $\partial ^{2} F=\{0\}$ ?
Réponses
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Peux-tu rappeler la définition d'ensemble dérivé ? Je croyais la connaître, mais comme toi, ce $\partial^2 F$ me surprend, selon moi ça devrait être $\emptyset$.
Peut-être PaDe a-t-il une définition inhabituelle ? -
Ça semble fumeux en effet.
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Peut-être ai-je mal compris.
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Il est évident que c'est une faute de frappe. Il a voulu écrire que l'ensemble dérivé second était $\emptyset$.
Au fait, comment on fait le symbole de dérivation en latex, dans ce cas-là ? -
Bonjour
@ Martial: \partial
edit, après lecture du message suivant: de rien. -
Merci Titi
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En français: on obtient A' (le dérivé de A) en retirant de A les points isolés de A. Mais attention, il y a des points qui vont se retrouver isolés dans A' qui ne l'étaient pas dans A par disparition de leurs voisins arbitrairement proches. Etc. Ca peut continuer longtemps.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@Christophe : si je ne me trompe pas ça peut durer au maximum $\omega_1$ étapes, c'est ça ?
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Oui Martial.... pour $\R$. Mais la notion a un sens dans tout espace topologique.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour,
j'ai encore plusieurs questions.
Pourquoi à la fin de l'exemple a-t-on $\partial ^\omega G=\mathbb{N}$ ?
Par ailleurs, pour en revenir à ce qui est au-dessus, on a donc $\theta(F)=2$ et $\theta(F_{p})=p+1$, non ?
Encore merci pour votre aide. -
Bonjour, désolé de revenir à la charge, mais j'aimerais comprendre.
L'ensemble $G$ est la réunion des $\{p+F_{p}\}$. Je ne comprends pas comment on obtient l'égalité $\partial ^{\omega}G=\mathbb{N}$. Je n'ai sans doute pas saisi ce qu'étaient ces ensembles $F_{p}$ et cet ensemble $G$. J'aurais eu envie de répondre $\partial ^{\omega}G=\{0\}$. -
$F_p$ est constitué des sommes d'au plus $p$ inverses de puissances de $2$ (sans répétitions dans les puissances).
Ça donne facilement que $\partial F_p = F_{p-1}$ car la $p$-ième de ces puissances permet d'approcher les éléments de $F_{p-1}$ (avec $F_0 := \{0\}$), et donc pour tout $k \geq 0$, $$\partial^k F_p = \left\{\begin{matrix}\{0\} \text{ si } k > p\\ F_{p-k} \text{ sinon}.\end{matrix}\right.$$ C'est vraiment ça la clé.
Ensuite, le fait que les $p+F_p$ soit à distance $> 0$ les uns des autres permet de voir que pour tout $k \geq 0$, $$\partial^k G = \bigcup_{p \geq 1} \partial^k F_p = \bigcup_{p < k} \{p\} \cup \bigcup_{p \geq k} (p + F_{p-k}).$$ -
Merci pour votre aide.
Pourquoi n'a-t-on pas $\partial ^{k}F_{p}=\emptyset$ pour $k>p$ ?
A-ton $F_{2}=\{0\}\cup \{2^{-n_{1}}+2^{-n_{1}-n_{2}}|n_{1},n_{2}\geqslant 1\}$ ?
Je pensais que $\partial G=\{1\}\cup (2+F_{1}) \cup (3+F_{2}) \cup ...$,
$\partial ^{2} G=\{2\} \cup (3+F_{1}) \cup ...$ -
Tu as raison désolé j'avais le nez dans le guidon. On a effectivement $\partial^k F_p = \emptyset$ pour $k > p$ ! On a donc bien $\partial^{\omega} G = \emptyset$ et $\theta(G)= \omega$.
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Merci encore. Pas très rassurant ces coquilles qui émaillent le texte. Comme je n'ai pas un grand niveau, j'y passe parfois beaucoup de temps pour tenter de comprendre. Peut-être devrais-je passer à un livre plus abordable pour moi. Quand je vois les chapitres qui suivent (logique), j'ai peur d'y perdre la raison.
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@Raskolnikov : as-tu la 1ère version du livre, ou la deuxième ?
Dans la 1ère version il y a beaucoup de coquilles, dont certaines ont été corrigées par de nombreux lecteurs, dont un intervenant du forum dont je ne citerai pas le pseudo et moi-même.
Visiblement, il y en a encore dans la 2ème version, mais c'est inévitable... -
Je pense que les coquilles restantes (qui sont, comme le dit Martial, inévitables dans un texte aussi long) sont assez isolées et n'affectent pas la compréhension, surtout étant donnée la grande pédagogie de l'auteur. Sérieusement, ce bouquin est une mine d'or pour découvrir ce milieu peu souvent traité en français !
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J'ai la deuxième édition. Je prends effectivement beaucoup de plaisir à le lire.
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D'accord avec Poirot.
J'ajoute qu'avant la sortie de ce livre le seul ouvrage sur le sujet disponible en français était le Krivine, dont la 1ère édition date de 1971, et qui est quand même fortement indigeste, même s'il y a des choses intéressantes dedans. -
Bonjour,
je suis toujours bloqué dans le même exemple.
On définit $F_{p}=\{0\}\cup\{\sum_{r\leqslant q}2^{-n_{1}-n_{2}-...-n_{r}}|1\leqslant q\leqslant p \text{ et }n_{1},...,n_{q}\geqslant 1\}$ (en particulier, $F_{1}=\{0\}\cup\{2^{-n}|n\geqslant 1\}$).
Puis on définit $H=\{0\}\cup \bigcup_{p\geqslant 1}(2^{-p}+2^{-p-1}F_{p}\}$.
Pourriez-vous m'expliquer pourquoi $\partial^{\omega}H=F_{1}$ ? Je suis vraiment perdu. -
Comme précédemment les $\partial^k$ avec $k$ suffisamment grand envoient $2^{-p} + 2^{-p-1}F_p$ sur $\{2^{-p}\}$.
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Justement, quand tu écris : $\partial^k G = \bigcup_{p \geq 1} \partial^k F_p = \bigcup_{p < k} \{p\} \cup \bigcup_{p \geq k} (p + F_{p-k})$, je ne comprends pas pourquoi les $p$ pour $p<k$ sont points d'accumulation.
J'aurais écrit : $\partial^k G = \bigcup_{p \geq 1} \partial^k (p+F_p) =\bigcup_{p \geq k} (p + F_{p-k})$. -
A-t-on $\partial H=\{0\}\cup \{\frac{1}{2}\}\cup \bigcup_{p\geqslant 2}(2^{-p}+2^{-p-1}F_{p-1}\}$, puis : $\partial^{2} H=\{0\}\cup \{\frac{1}{4}\}\cup \bigcup_{p\geqslant 3}(2^{-p}+2^{-p-1}F_{p-2}\}$, etc. ?
Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi, par exemple, $\frac{1}{2} \in \partial^{\omega}H$.
$\partial^{\omega}H$ est bien défini comme l'intersection des $\partial^{n}H$, non ? -
Ce deuxième exemple contient aussi une erreur, Dehornoy ne devait pas être bien réveillé le jour où il a écrit ça.
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Bonjour!
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