Ensemble dérivé
Bonjour,
dans le livre de P. Dehornoy sur la théorie des ensembles, page 78 (exemples), il introduit l'ensemble $F=\{0\}\cup \{2^{-n}|n\geqslant 1\}$. On a : $\partial F=\partial ^{2} F=\{0\}$, où $\partial X$ désigne l'ensemble des points d'accumulation de $X$. C'est sans doute trivial, mais pourquoi $\partial ^{2} F=\{0\}$ ?
dans le livre de P. Dehornoy sur la théorie des ensembles, page 78 (exemples), il introduit l'ensemble $F=\{0\}\cup \{2^{-n}|n\geqslant 1\}$. On a : $\partial F=\partial ^{2} F=\{0\}$, où $\partial X$ désigne l'ensemble des points d'accumulation de $X$. C'est sans doute trivial, mais pourquoi $\partial ^{2} F=\{0\}$ ?
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Réponses
Peut-être PaDe a-t-il une définition inhabituelle ?
Au fait, comment on fait le symbole de dérivation en latex, dans ce cas-là ?
@ Martial: \partial
edit, après lecture du message suivant: de rien.
j'ai encore plusieurs questions.
Pourquoi à la fin de l'exemple a-t-on $\partial ^\omega G=\mathbb{N}$ ?
Par ailleurs, pour en revenir à ce qui est au-dessus, on a donc $\theta(F)=2$ et $\theta(F_{p})=p+1$, non ?
Encore merci pour votre aide.
L'ensemble $G$ est la réunion des $\{p+F_{p}\}$. Je ne comprends pas comment on obtient l'égalité $\partial ^{\omega}G=\mathbb{N}$. Je n'ai sans doute pas saisi ce qu'étaient ces ensembles $F_{p}$ et cet ensemble $G$. J'aurais eu envie de répondre $\partial ^{\omega}G=\{0\}$.
Ça donne facilement que $\partial F_p = F_{p-1}$ car la $p$-ième de ces puissances permet d'approcher les éléments de $F_{p-1}$ (avec $F_0 := \{0\}$), et donc pour tout $k \geq 0$, $$\partial^k F_p = \left\{\begin{matrix}\{0\} \text{ si } k > p\\ F_{p-k} \text{ sinon}.\end{matrix}\right.$$ C'est vraiment ça la clé.
Ensuite, le fait que les $p+F_p$ soit à distance $> 0$ les uns des autres permet de voir que pour tout $k \geq 0$, $$\partial^k G = \bigcup_{p \geq 1} \partial^k F_p = \bigcup_{p < k} \{p\} \cup \bigcup_{p \geq k} (p + F_{p-k}).$$
Pourquoi n'a-t-on pas $\partial ^{k}F_{p}=\emptyset$ pour $k>p$ ?
A-ton $F_{2}=\{0\}\cup \{2^{-n_{1}}+2^{-n_{1}-n_{2}}|n_{1},n_{2}\geqslant 1\}$ ?
Je pensais que $\partial G=\{1\}\cup (2+F_{1}) \cup (3+F_{2}) \cup ...$,
$\partial ^{2} G=\{2\} \cup (3+F_{1}) \cup ...$
Dans la 1ère version il y a beaucoup de coquilles, dont certaines ont été corrigées par de nombreux lecteurs, dont un intervenant du forum dont je ne citerai pas le pseudo et moi-même.
Visiblement, il y en a encore dans la 2ème version, mais c'est inévitable...
J'ajoute qu'avant la sortie de ce livre le seul ouvrage sur le sujet disponible en français était le Krivine, dont la 1ère édition date de 1971, et qui est quand même fortement indigeste, même s'il y a des choses intéressantes dedans.
je suis toujours bloqué dans le même exemple.
On définit $F_{p}=\{0\}\cup\{\sum_{r\leqslant q}2^{-n_{1}-n_{2}-...-n_{r}}|1\leqslant q\leqslant p \text{ et }n_{1},...,n_{q}\geqslant 1\}$ (en particulier, $F_{1}=\{0\}\cup\{2^{-n}|n\geqslant 1\}$).
Puis on définit $H=\{0\}\cup \bigcup_{p\geqslant 1}(2^{-p}+2^{-p-1}F_{p}\}$.
Pourriez-vous m'expliquer pourquoi $\partial^{\omega}H=F_{1}$ ? Je suis vraiment perdu.
J'aurais écrit : $\partial^k G = \bigcup_{p \geq 1} \partial^k (p+F_p) =\bigcup_{p \geq k} (p + F_{p-k})$.
Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi, par exemple, $\frac{1}{2} \in \partial^{\omega}H$.
$\partial^{\omega}H$ est bien défini comme l'intersection des $\partial^{n}H$, non ?