Ensemble quotient de relation d'équivalence

Julia Paule · November 2020

Bonjour
Je me pose deux questions concernant l'ensemble quotient par une relation d'équivalence.

Soit $E$ un ensemble et $R$ une relation d'équivalence sur $E$. On peut donc former l'ensemble quotient $E / R$ qui est l'ensemble de ses classes d'équivalence. Soit $p$ la projection de $E \rightarrow E / R, \ x \mapsto \overline {x}$, classe d'équivalence de $x$.

1) On a donc $\forall x \in E,\ \overline {x} \subset E$. A-t-on alors $p(\overline {x})=\overline {x}$ ou bien $p(\overline {x})=\{ \overline {x} \}$ ? Je n'arrive pas à trancher.

2) Soit $F \subset E$ et $R_F$ la relation d'équivalence sur $F$ qui est celle de $E$ restreinte à $F$, i.e. : $\forall x, y \in F,\ x R_F y \Leftrightarrow x R y$, et soit :
$p_F$ la projection : $F \rightarrow F / R_F,\ x \mapsto \overline {x}_F$, classe d'équivalence de $x$ selon $R_F$.

Alors on a toujours $\forall F \subset E,\ \forall x \in F,\ p_F(x)=\overline{x}_F= \{y \in F\mid y R_F x \} \subset p(x)=\overline{x} = \{y \in E\mid y R x \}$ (en tant que parties de $E$). Si $F$ vérifie $\forall x \in F,\ \overline{x}_F = \overline{x}$ (la classe toute entière), comment peut-on qualifier $F$ pour la relation d'équivalence $R$ ?

En fait, je me pose la 1ère question principalement car si on est dans le cas d'une partie $F$ de $E$ vérifiant l'hypothèse de la 2ème question, alors pour $x \in F$, a-t-on $p(\overline {x}) \in p(F)$ ou a-t-on $p(\overline {x}) \subset p(F)$ ?
Merci d'avance.

Fin de partie · November 2020

Le fait d'utiliser la notation $f(\overline{x})$ conditionne la réponse à ta question 1) selon moi.

(c'est à dire qu'on a: $f(\overline{x})=\overline{x}$) (edit: en fait non, pas du tout)

Aucune des réponses proposées ne convient.

Dom · November 2020

Tu l’as écrit toi-même, non ?
$f : x\mapsto \overline {x}$
donc : (je corrige une coquille, ce n’est pas $f(\overline {x})$ mais $f({x})$.

$f( x)=\overline {x}$

édit : je viens de comprendre que tu souhaites écrire l’image directe de la classe par la fonction...

Quant à l’image directe de l’ensemble $\overline {x}$ par $f$ :
En écrivant les choses, ça doit aller...(oui enfin... « ça doit aller »...)

Prenons un autre exemple : $f( \{ x \})= \{ \overline {x} \} $ pour moi.
Ainsi, $f(\overline {x})=\{ \overline {x} \} $.

Fin de partie · November 2020

$\overline{x}$ désigne un ensemble ou l'élément correspondant à la classe de $x$ dans l'ensemble quotient (en fonction du contexte on comprend généralement)

Si on utilise la notation $f(\overline{x})$ implicitement on signifie en utilisant la notation $\overline{x}$ qu'on parle de la classe d'équivalence de $x$ c'est à dire un sous-ensemble de $E$. Mais si on écrit $f(\overline{x})=\overline{x}$ le $\overline{x}$ dans le membre de droite n'est pas un sous-ensemble de $E$ mais un élément du quotient.*,**

Pour moi une notation correcte serait $f(\text{class}(x))=\overline{x}$

Où $\text{class}(x)$ est la classe d'équivalence de $x$ dans $E$ pour la relation d'équivalence considérée.

*: une fois qu'on a construit l'ensemble quotient on perd l'information sur la provenance des éléments composant ce nouvel ensemble (façon de parler )

**: donc dans la même expression on utilise des symboles qui n'ont pas exactement le même sens? Est-ce bien raisonnable?

Dom · November 2020

Plus simplement :

Pour $g : u\mapsto u+1$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
$g(0)=1$ et $g(\{ 0 \}) =\{ 1 \}$.
L’image d’un sous-ensemble de l’espace de départ est aussi un sous-ensemble de l’espace d’arrivée.

Fin de partie : je ne comprends pas ce changement de notation.
$\text{class}(x)$ est noté $\overline {x}$.

Fin de partie · November 2020

Dom:

Tu as trop l'habitude de considérer que la classe d'un élément, qui est un sous-ensemble de E et l'élément qui lui correspond dans l'ensemble quotient sont la même chose.
Mais ces deux objets ne "vivent" même pas dans le même ensemble.

$\text{class}(x)$ est un sous-ensemble de $E$, la classe de $x$ dans la relation d'équivalence considérée, $\overline{x}$ est l'élément correspondant à cette classe dans l'ensemble quotient.

PS:
La projection canonique, $f$ dans le cas d'espèce, établit une bijection entre l'ensemble des classes de $E$ et l'ensemble quotient de la relation d'équivalence considérée. C'est ce qui permet, par abus de langage, de considérer qu'une classe d'équivalence et l'élément correspondant dans l'ensemble quotient sont d'une certaine manière la même chose.

Dom · November 2020

Hum...
Si on écrit ce qu’est $\overline{x}$ c’est pourtant bien un sous ensemble de $E$.
Dans $\mathbb Z / 2\mathbb Z$, $\overline{1}$, c’est quoi pour toi ?
Ce ne serait pas un sous-ensemble de $\mathbb Z$ ?

L’ensemble quotient est bien constitué des éléments d’une partition de $E$.

Sais-tu que justement on joue avec des éléments qui sont des ensembles quand on passe au quotient ?

gilles benson · November 2020

Bonjour, $E$ et $E/\sim$ sont deux choses distinctes; en particulier $E/\sim$ est formé d'éléments de $\mathcal{P}(E)$ et si $f$ est la projection de $E$ vers $E/\sim$, c'est un abus de notation et de langage que d'écrire $f(\overline{x})$ pour $f(x$) si $\overline{x}$ est la classe de $x$ (ce qui signifie uniquement que: $x \in \overline{x}$).

Par exemple, si on prend les congruences modulo $2$ dans $\mathbb{Z}$, soit la notion de parité, alors la classe d'un entier est soit l'ensemble des entiers pairs ou bien des entiers impairs et par exemple $f(17) = \overline{3}$ car $3$ est un représentant de la classe des entiers impairs mais si tu écris $f(17) = 17$, tu commets un abus de notation en confondant classe et représentant.

Edit: bien sur, si on note $\overline{x}$ pour un élément de la classe de $x$, c'est à dire un représentant de cette classe, les choses changent...

Fin de partie · November 2020

Dom:

quand tu écris $\overline{1}$ on ne sait pas si tu parles d'un élément de l'ensemble quotient par la relation d'équivalence: $x$ équivalent à $y$ si et seulement si $x-y$ est pair ou si tu parles de la classe de $1$ dans $\mathbb{Z}$ pour cette relation d'équivalence. Généralement ce n'est pas très important.
Mais si tu écris $f(\overline{1})=\overline{1}$ dans la même expression tu as les deux sens possibles pour les symboles $\overline{1}$. Est-ce bien raisonnable? ($f$ est la projection canonique dans l'ensemble quotient)

Dom · November 2020

Bon, Fin de partie :

Veux-tu m’écrire explicitement ce que sont les ensembles $\text{class} (1)$ et $\overline{1}$ dans le contexte $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ ?
J’entends pas de blabla, mais une écriture formelle, accolade, etc.
Je dis qu’écrire $f(\text{class}(1))=\overline{1}$ est incorrect.
Je dis que ce doit être : $f(\text{class}(1))=\{ \overline{1} \}$ si tu as peur de je ne sais quoi.

A tous :
Écrire : $f(\overline {x})=\overline {x}$ n’est pas correct.

Par contre écrire : $f(\overline {x})$ n’est pas forcément insensé : c’est l’image directe d’un sous-ensemble et il faut juste faire attention à ce que l’on écrit ensuite.

Julia Paule · November 2020

J'ai modifié la 2ème question de mon 1er message, qui n'était pas claire.

NoName · November 2020

Pour le 1) c'est le second
Pour le 2) les parties en question sont dites saturées pour la relation d'équivalence, ce sont les parties qui contiennent tous les éléments équivalent à l'un quelconque de ses éléments. Ce sont les images inverses de parties du quotient.

Fin de partie · November 2020

Dom:
Pour la relation d'équivalence: $x$ équivalent à $y$ si et seulement si $x-y$ est pair définie sur $\mathbb{Z}$.
$\text{class}(1)= $ sous-ensemble de $\mathbb{Z}$ des nombres impairs.

Si $f$ est l'application, projection canonique, de $\mathbb{Z}$ vers l'ensemble quotient pour cette relation d'équivalence, ensemble généralement noté $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, alors $\overline{1}=f(\text{class}(1))$.
Et par abus de notation on identifie souvent $\overline{1}$ avec $\text{class}(1)$.

PS:
Je devrais sans doute plutôt écrire: $\{\overline{1}\}=f(\text{class}(1))$. Etant entendu que dans le membre de gauche il est question d'un singleton.

Dom · November 2020

Désolé mais tu ne réponds pas à ma question bleue (tu n’y es pas obligé, bien sûr).
Aussi, tu dis des bêtises. L’écriture $\overline{1}=f(\text{class}(1))$ est fautive.

Pour toi, qu’est-ce que $\overline{1}$ sinon le sous-ensemble de $\mathbb Z$ constitué des nombres impairs ?
Qu’est-ce qu’il aurait en plus ou en moins que ton $\text{class}(1)$ ?

Math Coss · November 2020

1) Comme l'a écrit Dom, $f(\bar{x})=\{\bar x\}$. En effet, c'est la partie de $E/{\sim}$ formée des éléments $f(y)$ lorsque $y$ décrit $\bar x$ ; par définition, $f(y)=f(x)=\bar x$ lorsque $y\in\bar x$ donc l'ensemble $f(\bar x)$ est le singleton $\bar x$.

2) Pour toute relation d'équivalence, la restriction $f|_F$ de $f$ à $F$ envoie un élément $x$ de $F$ sur $f(x)$, sa classe dans $E$, qui a priori contient des éléments hors de $F$.

Peut-être veux-tu en fait parler de la projection obtenue en restreignant la relation d'équivalence à $F$ (définie pour $x,y\in F$ par $x\sim'y$ si $x\sim y$) et dire que la classe d'équivalence d'un élément de $F$ pour la relation restreinte $\sim'$ est sa classe pour $\sim$ ? Cela signifie que $F$ est une réunion de classes d'équivalences de $\sim$. À moins d'une relation plus ou moins triviale (une seule classe ou seulement des singletons), ça ne m'a pas l'air possible pour tout $F$.

gilles benson · November 2020

relisez Godement......

Julia Paule · November 2020

Merci à tous.

Fin de partie, je n'ai pas tout lu, mais je retiens cette bonne idée :

$\overline{x}$ est un élément de $E / R$, donc on ne peut pas avoir $\overline{x} \subset E$, il faut distinguer avec un autre symbole, par exemple $class(x)$ qui est une partie de $E$, et alors $f(class(x))= \{ f(y), y \in E, y \in class(x) \} = \{ f(y), y \in E, y R x \} = \{ \overline {x} \}$. Cela répond à ma 1ère question. Merci beaucoup, un voile se déchire.

Fin de partie · November 2020

Math Coss: Donc pour toi $\overline{x}$ dans le membre de gauche et $\overline{x}$ dans le membre de droite sont égaux?

PS:
Comment on définit proprement un quotient d'ensemble?

Thierry Poma · November 2020

Bonjour,

Je reprends tes notations. L'on a clairement\[x\in{}E\text{ et }y\in{}E\text{ et }x\sim{}y\Leftrightarrow{}f(x)=f(y)\]Soit maintenant $P$ une partie de $E$. L'on dit que $P$ est saturée modulo $\sim$ si\[x\in{}P\text{ et }y\in{}E\text{ et }x\sim{}y\Rightarrow{}y\in{}P\]Tu montreras que cela revient au même d'affirmer que $(\forall\,x)(x\in{}P\Rightarrow{}f^{-1}\left(\{f(x)\}\right)\subset{}P)$. Au final,\[\left(\mathfrak{P}(E)\ni{}P\text{ est saturée modulo }\sim\right)\Leftrightarrow{}P=f^{-1}(f(P))\]Cordialement,

Thierry

Math Coss · November 2020

@FdP : Oui : à gauche je le vois comme une partie de $E$, à droite comme un élément de $E/{\sim}$, qui est inclus dans l'ensemble des parties de $E$, same difference.

Julia Paule · November 2020

Math Coss, j'ai modifié mon 1er message, envoyé trop vite, qui était un peu n'importe quoi. Oui, je veux parler parler de la restriction de la relation d'équivalence à $F$.

Dom · November 2020

Julia,

Les éléments du quotient $E/{\sim}$ sont des sous-ensembles de $E$.
On a donc bien $\overline{x} \subset E$ et je suis en désaccord avec Fin de partie.

Parfois on note :
$\mathbb Z / 2\mathbb Z=\{ 2\mathbb Z \ ; 2\mathbb Z + 1 \}$.

La paresse nous conduit à raccourcir ces notations.

Julia Paule · November 2020

Merci beaucoup. Donc une telle partie $F$ est dite saturée. Je vais vérifier vos affirmations. Dès lors, les classes d'équivalence de $E$ modulo $R$ (vues en tant qu'ensembles) sont toutes des parties saturées de $E$, ainsi que les unions de classes d'équivalence ?

Fin de partie · November 2020

Math Coss: Qu'est-ce qui te permet de considérer qu'ils sont égaux?

Dom · November 2020

Je tente une dernière fois : (ce n’est pas par agacement ou autre mais c’est pour ne pas polluer le fil)
Fin de partie :
quels éléments trouves-tu dans $\text{class}(1)$ ? et dans $\overline{1}$ ?
On ne parle pas de structure là, mais d’ensemble.

Julia Paule · November 2020

Dom, en effet, je ne suis plus si sûre que $\overline{x} \in E/R$ fait que $\overline{x}$ ne peut pas être une partie de $E$. Un élément d'un ensemble peut être un ensemble. $\overline{x} = \{y \in E, y R x \} \subset E$. Tu as raison. Merci beaucoup.

Cela ne change rien au résultat : $f(\overline{x})= \{ f(y), y \in E, y \in \overline{x} \} = \{ f(y), y \in E, y R x \} = \{ \overline {x} \}$.

Fin de partie · November 2020

Dom: demander qu'est-ce qu'il y a comme élément dans $\overline{1}$ n'a pas de sens avec la définition que j'ai donnée plus haut.
$\overline{1}$ est un élément de l'ensemble quotient, il est tout seul dans ses bottes. B-)-
Est-ce que tu considères que la question qu'est-ce qu'il y a comme éléments dans $1$, un élément de $\mathbb{Z}$, a du sens?

PS:
Pour $\text{class}(1)$ je t'ai déjà répondu. Avec la relation d'équivalence que tu proposes, $\text{class}(1)$ est le sous-ensemble des éléments de $\mathbb{Z}$ qui sont impairs.

Chalk · November 2020

Bien sûr que ça a du sens, 1 est un ensemble dans le formalisme de la théorie des ensembles !

Je rejoins Dom sur tous les points.

Dom · November 2020

Bon, en théorie des ensembles, oui elle garde du sens :-D

Tu as posé une question dans un PS, plus haut.
C’est un cours sur les ensembles quotients qu’il faut lire. La page wiki me semble claire.

L’ensemble quotient (toujours l’ami Z/2Z) contient deux éléments, ok.
MAIS : chaque élément est un sous-ensemble de Z.

Fin de partie · November 2020

C'est une manière de voir les choses, mais une autre manière de voir les choses est de considérer que dans ce contexte tous les ensembles à deux éléments peuvent revendiquer le titre d'être l'ensemble quotient pour cette relation d'équivalence.
Alors si on prend l'ensemble $\{0,1\}$ a-t-on $0$= le sous-ensemble de $\mathbb{Z}$ des nombres pairs?

Dom · November 2020

Ha ben en effet. Tu choisis ton monocle.
Et avec $\{ Vrai ; Faux \}$ ou $\{ Macron ; Le Pen \}$, qui est l’ensemble des nombres pairs ?

Plus sérieusement :
L’ensemble quotient (E/R) est issu d’un ensemble (E) et d’une relation d’équivalence (R).
Tu verras, si tu le construis, que les éléments de l’ensemble quotient sont des sous-ensembles de l’ensemble de départ.
Si tu relis tous les messages précédents, tout est cohérent.

Édit : ici, c’est plutôt comme « je considère l’ensemble des trois éléments $\{ \mathbb R ; \mathbb Z ; \mathbb C \}$ »
C’est un ensemble de trois éléments qui sont des ensembles connus.
L’ensemble quotient, il est construit artificiellement avec d’autres ensembles.

Dom · November 2020

Une autre vision :
$\overline{1}+\overline{1}=\overline{0}$ signifie « quel que soit le nombre impair a, quel que soit le nombre b, la somme a+b est un nombre pair ».
Mais, tu sais pourtant ça par cœur.

La magie est que le + (qui n’est pas l’addition dans Z) reste compatible avec ces additions d’ensembles.

Édit : l’édit dans mon message précédent est important, Fin de partie, je crois...

Thierry Poma · November 2020

En reprenant ceci, j'écris que $\Z/2\,\Z=\left\{\overline{0},\,\overline{1}\right\}$, où $\overline{0}$ et $\overline{1}$ sont des points à part entière de l'ensemble $\Z/2\,\Z$. Considérant la surjection canonique $\pi:\Z\to\Z/2\,\Z$, alors clairement $\overline{0}=\pi(0)$ et $\overline{1}=\pi(1)$, d'où $2\,\Z=\pi^{-1}\left(\left\{\overline{0}\right\}\right)$ et $2\,\Z+1=\pi^{-1}\left(\left\{\overline{1}\right\}\right)$ qui sont des parties disjointes de $\Z$. En effet, a priori, j'aurais très bien pu poser $\overline{1}=\pi(0)$ et $\overline{0}=\pi(1)$ ; rien ne me l'empêche, sauf le bon-sens et vraisemblablement l'étude que l'on peut en faire par la suite en m'appuyant sur une certaine espèce de structure (celle de groupe, celle d'anneau, ...) sur $\Z/2\,\Z$. Remarquons que les parties $2\,\Z$ et $2\,\Z+1$ sont canoniquement saturées pour la relation d'équivalence\[x\in\Z\text{ et }y\in\Z\text{ et }x-y\text{ est divisible par }2\]définie sur $\Z$.

gilles benson · November 2020

$\{ce,\; fil,\; est,\; fun\}$

Julia Paule · November 2020

On a aussi $f^{-1} ( \{\overline {x} \})= \overline {x}$, car $\overline {x}$ est une partie de $E$.

Si on avait $ \forall \overline {x}, f(\overline {x})=\overline {x}$, $f$ serait l'application identité : bizarre.

Une droite est un ensemble de points et aussi un élément de l'ensemble des droites de l'espace.

Fin de partie · November 2020

Ben oui Thierry Poma qu'est-ce qui t'empêche de définir $\overline{0}:=\pi(0)$,$\overline{1}:=\pi(1)$?

(l'appel au bon sens est un leurre)

NB: dans le cas d'espèce de la relation d'équivalence dont il était question. Qu'on se comprenne bien.

PS:

Dom a écrit:

Et avec {Vrai;Faux} ou {Macron;LePen}, qui est l’ensemble des nombres pairs ?

Tu veux dire perd? J'en sais rien, on n'a pas encore voté. X:-(

Thierry Poma · November 2020

@JP : attention à ce que tu a écrit ici.

@FdP : si $\alpha$, $\beta$ sont des ensembles distincts, l'on peut effectivement poser $\Z/2\,\Z=\left\{\alpha,\,\beta\right\}$, en convenant que $\alpha=\pi(0)$ et $\beta=\pi(1)$, par exemple. Ainsi aura-t-on $2\,\Z=\pi^{-1}\left(\left\{\alpha\right\}\right)$ et $2\,\Z+1=\pi^{-1}\left(\left\{\beta\right\}\right)$, parties disjointes de $\Z$.

christophe c · November 2020

Julia: quand tu ouvres un fil comme ça, même si la tradition utilise des homonymes, je te recommande de CHANGER provisoirement de toi-même les notations.

Dans ton premier post, rien ne va (à 16h24) car tu utilises la notations $a(b)$ dans deux sens différents

une fois pour dire "unique élément $x$ de $f$ tel que $(b,x)\in a$

une autre fois pour dire $\{y\mid \exists x\in b: (x,y) \in a\}$

A noter que dans le cas présent, tu aurais répondu TOI MEME à tes questions si tu avais pris ce soin, c'est pour ça que je te le dis. Quand on utilise un même mot pour désigner des choses différentes, c'est VRAIMENT DE LA CHANCE quand ensuite on s'en sort.

rondo · November 2020

Bonjour,

Comme dit christophe c, les ambiguïtés provoquent des problèmes
et c'est pour éviter toutes ces ambiguïtés que je préfère procéder comme suit :

Si $f$ est une fonction de $A$ dans $B$,

on définit $f^{\rightarrow}$ comme la fonction de $\mathcal{P}(A)$ dans $\mathcal{P}(B)$ telle que pour tout $X$ dans $\mathcal{P}(A)$, $f^{\rightarrow}(X) = \{f(x) \mid x \in X\}$
on définit $f^{\leftarrow}$ comme la fonction de $\mathcal{P}(B)$ dans $\mathcal{P}(A)$ telle que pour tout $X$ dans $\mathcal{P}(B)$, $f^{\leftarrow}(X) = \{x \in A \mid f(x) \in X\}$

D'autre part, si $R$ est une relation d'équivalence sur un ensemble $E$,

pour un élément $x$ de $E$, on définit $\bar{x}$ par $\{y \mid x R y\}$.
on définit $E/R$ par $E/R = \{\bar{x} \mid x \in E\}$
on définit $p$ comme la fonction de $E$ dans $E/R$ telle que $p(x) = \bar{x}$

On peut alors écrire $p^{\rightarrow}(\bar{x}) = \{\bar{x}\}$ et $p^{\leftarrow}(\{\bar{x}\}) = \bar{x}$.

christophe c · November 2020

En admirant la disposition de ton post rondo, je viens d'apprendre l'outil list :

$\bullet$ bonjour, tout le monde $\bullet$ passez une bon samedi

*Voici une sous-liste *de la grosse liste $\bullet$ avant de terminer cette grosse liste

Julia Paule · November 2020

Thierry Poma : que veux-tu dire ?

christophe c, je n'ai rien compris à ton post.

rondo, pour moi, si $f$ est une application de $A$ dans $B$, et $X$ une partie de $A$, alors $f(X) = \{f(x) \mid x \in X\}$. Je n'ai jamais vu le 2ème sens dont tu parles où $X$ serait une partie de $B$ ???

Ce post m'a permis de mettre un terme à ma 1ère question que je me posais confusément depuis longtemps, et de connaitre la notion de partie saturée pour une relation d'équivalence, qui peut s'exprimer beaucoup plus simplement que je ne l'ai fait dans mon 1er post :

$F$ est saturée pour la relation d'équivalence $R$ si : $\forall x \in F, \overline {x} \subset F$.

Et pour finir sur ma remarque du 1er post, on n'a pas besoin que $F$ soit saturée pour dire : $\forall x \in F, p(\overline {x}) = \{ \overline {x} \} \subset p(F)$.

Julia Paule · November 2020

Ah ok rondo, j'ai compris pour ton $f^{\rightarrow}=f$ et ton $f^{\leftarrow}=f^{-1}$. Quelle embrouille, il me semble pourtant que la notation $f^{-1}(B)$ est très usuelle, et se comprend bien d'habitude : que peut être $\{ \overline {x} \}$ d'autre qu'une partie de $E/R$ ?

J'arrête là sur ce fil, j'ai obtenu mes réponses.

Dom · November 2020

Dans le poste de rondo, que je salue :
X désigne un moment une partie de A, et à un autre moment une partie de B.
Sauf si moi non plus je ne comprends pas, il aurait pu quantifier ;-)
Il utilise une autre notation (conseil de Christophe, que je salue également) pour l’image directe d’un ensemble par $f$ et une autre notation pour l’image réciproque d’un ensemble par $f$.

Je me contente de cela n’ayant pas participé à l’autre volet « ensemble saturé ».

rondo · November 2020

C'est vrai, je corrige dans le post : j'ajoute la quantification.

@Julia Paule
Désolé pour l'embrouille.

Julia Paule · November 2020

Merci Dom. Voilà pourquoi j'ai eu du mal à trancher pour ma 1ère question : mon cours parle de l'application (pour faire simple) $g : p(E) (= E/ R) \rightarrow E', p(\overline {x}) \mapsto g(p(\overline {x}))$.

Or pour $p$ la projection canonique : $E \rightarrow E/R$, on a $p( \overline {x})=\{ \overline {x} \} \subset p(E)=E/ R $, et non pas $p( \overline {x}) \in p(E)$ comme on pourrait s'y attendre au vu de la définition de $g$.

C'est donc un abus de notation ?

Thierry Poma · November 2020

@JP : quel est donc ce cours, s'il te plait ?

Julia Paule · November 2020

Bonjour,

Il s'agit d'un cours de géométrie projective : sur un espace vectoriel $E$ sur $K$, on a la relation d'équivalence sur $E \setminus \{0\}$ : $x R y \Leftrightarrow \exists \lambda \in K^*, y= \lambda x$.
$p$ est la projection canonique : $E \setminus \{0\} \rightarrow (E \setminus \{0\}) /R, x \mapsto$ la droite vectorielle (privée de $0$) engendrée par $x$.
Les sous-espaces vectoriels $F$ de $E$ sont donc saturés pour cette relation d'équivalence. On pose $P(F) := p(F)$, c'est donc l'ensemble des droites vectorielles contenues dans $F$. Pour tout $F$, $P(F) \subset P(E)$ (car $F$ est saturé).

$g \in GL(E)$ induit une transformation dite projective : pour toute droite vectorielle $D$ de $E$ , $P(g) : P(E) \rightarrow P(E), P(D) \mapsto P(g(D))$.

On a logiquement : $P(D) \subset P(E)$, et non pas $P(D) \in P(E)$ donc quelque chose ne va pas. Mais en fait, $P(D)$ est un singleton = $\{ D \}$, et il est fait un abus de notation dans ce cours (je tairais son nom) : on prend $D$ pour $\{ D \}$. Voilà.

Merci à tous.

gerard0 · November 2020

Bonjour Julia Paule.

Il est de tradition, en géométrie, de confondre M et {M} quand M est un point : "L'intersection de deux droites non parallèles est un point"; "$(AB)\cap(CD)=E$, etc.

Cordialement.

christophe c · November 2020

J'arrive un peu tard, mais je te réponds quand-même sur CE QUE TU écris:

Julia a écrit:

rondo, pour moi, si $f$ est une application de $A$ dans $B$, et $X$ une partie de $A$, alors $f(X) = \{f(x) \mid x \in X\}$.

Alors, justement non. C'est bien là qu'il faut que tu fasses attention. $f(A)$ est l'image de $A$ par $f$, point barre.

Par une convention TACITE et maladroite, et quand aucune confusion n'est pas à craindre, OUI, certains auteurs ou profs de fac utilisent cette notation que tu évoques. Il ne s'agit en rien d'une "vérité" mathématique. Elle est maladroite parce qu'on ne sait pas si :

$f(A)$ veut dire

"unique $B$ tel que $(A,B)\in $ le graphe de $f$"

plutôt que

"l'ensemble des éléments qui ont un antécédent dans $A$ par $f$"

qui sont 2 choses radicalement différentes a priori.

Dom · November 2020

Mais Christophe, quand tu dis « l’image de $A$ par $f$ », est-ce une définition ?
Qu’est-ce que ça signifie ?

Julia Paule · November 2020

Merci gérard0, je n'y avais pas fait attention. $P(D)$ est un point dans $P(E)$.

christophe c, bah le contexte dit si A est une partie ou un élément. Sinon il faut préciser.

Ensemble quotient de relation d'équivalence

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