Une histoire sur l'$\infty$

Cantor-Bernstein · November 2020

Je me lance un immense défi : expliquer dans un cours les bases nécessaires à la compréhension des travaux de Cantor qui ont fait naître la théorie des ensembles jusqu'à ses évolutions les plus récentes. Aussi J'y inclurai une dimension historique et logique.

Ce cours en projet ou ce projet en cours se voudra exhaustif mais dans l'objectif qu'un lecteur d'un jeune âge (ou pas) ait le moins de fois possible à quitter son contenu pour chercher la réponse à ses questions ailleurs (car c'est souvent la cause de découragements pour un novice avec le point 2 - voir plus bas).

J'ai bien conscience qu'il est impossible de rédiger un tel ouvrage seul. J'en appelle à vos conseils :

1) pour ne pas me décourager
2) pour m'aider à ce que chaque partie, sous-partie, ${sous}^{n}$-partie assure un liant maximal avec la prochaine (permet de garder l'intérêt du lecteur)
3) pour me suggérer des points non abordés (lacunes)
4) pour détecter erreurs
5) pour améliorer la mise en page
6) autres

L'idéal serait d'avoir des lecteurs avec une bonne expérience des mathématiques prêts à adopter le point de vue d'un enfant pour soulever des questions des plus naïves (mais pertinentes) pour avancer sûrement et solidement vers le but d'être compris du plus grand nombre.

Les personnes qui me liront ont peut être déjà commencé ou même publié un tel ouvrage. J'en appelle à leur collaboration toute particulière dans l'avancement de ce projet.

D'avance merci de m'avoir lu jusqu'ici. J'espère ne pas avoir de critiques trop sévères dans vos messages :-) 112606

Cantor-Bernstein · November 2020

[size=medium]Je précise qu'il ne s'agit pas là le début de ce cours.[/size] Premières notions : éléments, ensembles, relation d'appartenance et égalité de deux ensembles (voir images jointes) 112680

Martial · November 2020

@CB : J'ai deux questions préliminaires.
1) Quel est le niveau minimum requis pour tes lecteurs ?
Tu parles d'enfants, donc l'exigence mathématique doit être assez faible, j'imagine.
2) Jusqu'où comptes-tu aller dans la découverte de l'infini ?

Maxtimax · November 2020

L'histoire sera-t-elle "à côté" des maths, ou est-ce que tu comptes suivre une progression historique dans le livre ? Dans le second cas, commencer par la notion d'ensemble ne me semble pas très adapté, mais dans le premier c'est tout à fait pensable

Poirot · November 2020

Je suis en désaccord avec la première phrase : tu ne peux pas dire que les éléments d'un ensemble sont définis ! C'est à la fois une source de problèmes mais aussi de richesse en théorie des ensembles. Problèmes car on se rend vite compte que beaucoup de notions ne sont pas absolues, mais richesse car on peut jouer là-dessus pour construire des modèles différents les uns des autres et obtenir des résultats d'indépendance.

Ensuite tu veux distinguer un ensemble de ses éléments avec des lettres majuscules et minuscules, mais qu'est-ce que tu feras quand tu parleras d'ensembles d'ensembles, ou d'ensembles d'ensembles d'ensembles ? On dirait que tu cherches à parler d'une théorie typée, ce qui n'est généralement pas comme ça qu'on aborde la théorie des ensembles.

Au passage il me semble que l'on écrit cliquable et non clicable (et mon correcteur orthographique pense de même).

christophe c · November 2020

Aussi J'y inclurai une dimension historique

C'est le meilleur moyen de ne pas y arriver du tout. ;-)

Les différentes conceptions de l'infini au cours de l'histoire ont émergé de manières vraiment disparates et en n'oubliant pas que jusqu'à il y a très peu toutes les sociétés avaient des citoyens qui vivaient dans la crainte de représailles des autorités religieuses (c'est revenu récemment, mais il y a quelque décennies où on n'étaient pas sous leur dictature).

Entre l'infini de l'ensemble des entiers naturel, l'infini "disparaissant" dans la complétion projective de la géométrie, etc, l'histoire ne sera pas bonne guide, puisque tout le taf a consisté à "corriger" les erreurs commises lors des tâtonnements.

Après, donne peut-être des pricision de ce que tu attends de cette production future: si c'est juste "pour le plaisir" et que tu as les moyens de subsister, c'est très différent de par exemple la produire dans un but public.

Chaurien · November 2020

Il y a déjà ce livre, qui donne pas mal de lueurs sur la question :
https://webusers.imj-prg.fr/~rached.mneimne/CM/spip.php?article69

rondo · November 2020

Bonjour,

Cantor-Bernstein a écrit:

Un ensemble est une collection d'objets issus de notre pensée, définis [...]
[...] comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments.

D'après l'expérience que j'en ai, ceux qui ne connaissent pas encore la notion d'ensemble et qui lisent ça comprennent que, par exemple, le pied d'une table est dans l'ensemble des tables.

Maxtimax · November 2020

Christophe : l'histoire est bonne guide si on souhaite... parler d'histoire :-D
Après je viens de relire le premier post et effectivement c'est seulement "inclure une dimension.historique", mais moi j'adorerais lire un travail historique sur l'infini

Cantor-Bernstein · November 2020

Bonjour à tous je réponds dans l'ordre :

[size=medium]@Martial[/size] : Le niveau minimum requis est celui d'une personne qui sait bien sûr parler correctement (même si c'est un jugement de valeur), lire, écrire, compter.

Une approche intuitive des nombres est nécessaire. La maîtrise de l'addition, multiplication, division est elle nécessaire ? Pour l'instant je ne sais pas, je verrai.

Je m'efforce de prendre comme point de départ une théorie générale des ensembles pour déjà me rapprocher de celle de Zermelo. En [size=medium]parallèle[/size] je souhaite partir de mathématiques plus anciennes pour rejoindre les travaux de Cantor pour avoir un savoir global et profond sur la naissance de la théorie des ensembles et la crise des fondements. Sur une troisième parallèle je me pencherai sur les origines des systèmes logiques, jusqu'à nos jours.

Tout doit rester limpide, fluide, la structure doit être la plus naturelle.

J'ai bien conscience de l'impossibilité d'un tel résultat sur une seule vie. Ce qui importe c'est le chemin.

Les rares fois où l'enfant ou l'adulte lecteur (qui n'aurait pas ou très peu fait de mathématiques) doit mettre en pause sa lecture c'est pour aller dans un dictionnaire pour avoir une idée de ce que signifie un mot hors cadre mathématique (jusqu'à preuve du contraire) comme collection ou pensée qui sont les deux premiers exemples. Même si on pourrait se poser la question sur le premier : UN. Mais arrivé là on tombe dans les régressions à l'infini du langage ou des raisonnements circulaires (voir trilemme d'Agrippa) (jusqu'à preuve du contraire). Bref pour résumer je ne vais pas essayer de définir définir (jusqu'à preuve que ce soit rigoureusement possible).

[size=medium]@Martial[/size]: Jusqu'où je compte aller : Pour l'instant au moins jusqu'aux ordinaux, et j'essayerai de bien comprendre le lemme de Zorn, sa démonstration et ses équivalences. Il y a jusque là je pense beaucoup de travail (jusqu'à preuve du contraire : là chapeau bas).

J'ai joint le cours de référence sur lequel je m'appuie, celui de Patrick Dehornoy:

axexe · November 2020

Dehornoy a quand même fait du beau boulot dans son bouquin.

Cantor-Bernstein · November 2020

@Maxtimax : Le premier cas

Martial · November 2020

@axexe : exact !
Je suis en plein dedans, page 500 le big théorème sur les cardinaux mesurables.

@CB : dans l'absolu je pense que ton projet peut aboutir. Mais comment amener un enfant, ou une personne peu cultivée en maths, à s'intéresser au lemme de Zorn ?
La première fois que j'en ai entendu parler c'était en spé, et à la première audition je n'ai rien compris, pour la bonne raison que jusque là je n'avais manipulé que des ensembles totalement ordonnés. Il faut qu'avant d'attaquer Zorn tu donnes à tes lecteurs plein d'exemples d'ordres partiels.
Problème : c'est quoi les exemples intéressants ? Je veux dire par là les exemples où on est bien contents d'avoir Zorn dans son panier ? Je vois les idéaux, les filtres, les familles libres dans un espace vectoriel, tout un tas de sortes de fonctions partielles, les isomorphismes partiels entre bons ordres, et j'en oublie des tonnes.
Pas facile d'expliquer ça à un enfant...

Cantor-Bernstein · November 2020

Je suis en désaccord avec la première phrase : tu ne peux pas dire que les éléments d'un ensemble sont définis !

@Poirot : tu as totalement raison, je vais rectifier cela

tu veux distinguer un ensemble de ses éléments avec des lettres majuscules et minuscules, mais qu'est-ce que tu feras quand tu parleras d'ensembles d'ensembles, ou d'ensembles d'ensembles d'ensembles ?

@Poirot : Je n'ai par affirmé que les éléments ne peuvent pas être de tels objets. C'est d'ailleurs pour cela que j'ai écrit : Dans notre contexte mathématique, ils pourront être des nombres, des points géométriques, des droites, voire même des ensembles...

Dans ce cas ça me laisse toujours la liberté de le préciser au moment opportun ? Je ne vois pas le problème sur la notation. Après cette précision quel est-il? Je vais rectifier "on essaye" en "on pourra".

Cantor-Bernstein · November 2020

Les différentes conceptions de l'infini au cours de l'histoire

@christophe c : lesquelles précisément ?

taf a consisté à "corriger" les erreurs commises lors des tâtonnements.

@christophe c : Quelle est l'histoire de ce taf ? (le meilleur ouvrage en la matière : utiliser Wikipédia pour ça c'est vraiment se perdre).

Mon avis est que pour saisir au mieux la crise des fondements est qu'il faille avoir la meilleure maîtrise possible des mathématiques antérieures. Il faut donc se plonger un minimum dans son histoire ?

Après, donne peut-être des pricision de ce que tu attends de cette production future: si c'est juste "pour le plaisir" et que tu as les moyens de subsister, c'est très différent de par exemple la produire dans un but public.

C'est pour le plaisir avant tout mais si ça n'était que ça ce serait de la br****tte B-). Se limiter à sa propre compréhension sans transmettre un savoir, ça n'aide personne, ça ne fait pas avancer la science (les lecteurs en seront peut être les acteurs). Aussi ça tombera après ma vie (sauf si on trouve la clé de l'immortalité ;-)) dans l'oubli. C'est tellement plus beau de laisser une trace de son vivant qui peut selon sa qualité rester vivante longtemps bien longtemps après soi.

Cantor-Bernstein · November 2020

D'après l'expérience que j'en ai, ceux qui ne connaissent pas encore la notion d'ensemble et qui lisent ça comprennent que, par exemple, le pied d'une table est dans l'ensemble des tables.

@rondo : Très intéressant. Comment faire pour résoudre ce problème de compréhension ?

La seule donnée d'exemples résout elle le problème ? Je ne pense pas.

Cantor-Bernstein · November 2020

Mais comment amener un enfant, ou une personne peu cultivée en maths, à s'intéresser au lemme de Zorn ?

Il faut qu'avant d'attaquer Zorn tu donnes à tes lecteurs plein d'exemples d'ordres partiels.

c'est quoi les exemples intéressants ?

Pas facile d'expliquer ça à un enfant...

@Martial j'essaye de répondre à ces 4 points dans la semaine qui vient. Bonne journée

rondo · November 2020

Bonjour,

Cantor-Bernstein a écrit:

Comment faire pour résoudre ce problème de compréhension ?

D'après ce que j'ai compris, historiquement il y a eu deux notions : celle de classe et celle d'ensemble.
Personnellement, j'ai l'impression que la notion actuelle d'ensemble dérive des deux à la fois et que la meilleure façon de comprendre la notion d'ensemble est de commencer par la notion de classe.

En espérant que ça peut aider.

Martial · November 2020

@rondo : non, la notion de classe est venue après. Quand Cantor s'est aperçu qu'il y avait des objets trop gros qui menaient à des contradictions quand on leur accordait le statut d'ensemble, il a appelé ça des "pluralités inconsistantes", et de nos jours on appelle ça des classes propres.

Mais si Cantor-Bernstein commence son cours par les classes propres, il va tuer des milliers d'enfants. C'est déjà bien s'il arrive à leur faire comprendre qu'il existe plusieurs sortes d'infini. L'infini absolu de Cantor, ils le verront un jour, peut-être, quand ils seront sur les bancs de l'université.

Ne va pas mettre le doute dans l'esprit de Cantor-Bernstein, il a l'air d'être motivé et de se poser les bonnes questions. En plus il tient compte de ce qu'on lui dit.

rondo · November 2020

Je ne voulais pas qu'il dise cela aux élèves. C'était juste une matière à réflexion.

Effectivement,

Martial a écrit:

Quand Cantor s'est aperçu qu'il y avait des objets trop gros qui menaient à des contradictions quand on leur accordait le statut d'ensemble, il a appelé ça des "pluralités inconsistantes", et de nos jours on appelle ça des classes propres.

Je suis tout à fait d'accord avec cela.

Martial a écrit:

Mais si Cantor-Bernstein commence son cours par les classes propres, il va tuer des milliers d'enfants.

Je me suis mal exprimé. Je ne voulais pas parler de la notion de "classe propre" actuelle. Je voulais parler de la notion de classe de Péano, Frege et Russell.

christophe c · November 2020

Je n'ai pas lu le fil, mais je préconise de travailler dans la théorie ayant pour seul axiome l'extensionnalité et :

$$ \forall R,x: [(x\in \{y\mid R(y)\} ) \iff (R(x))]$$

quand on est "le prof" et qu'on choisit ses sujets devant des enfants (étudiants).

Si par hasard un gamin découvre qu'elle est contradictoire, on lui paie un voyage et on fait un discours (qu'on aura préparé à l'avance au cas où).

Bref, c'est quand-même dommage de faire compliqué quand on peut faire simple!

Martial · November 2020

@Christophe : je pense que le voyage sera payé par Woodin pour que le gamin rapplique vite fait aux States pour faire sa thèse...

Martial · November 2020

@rondo : maintenant, je comprends mieux.
Je suis victime de la déformation professionnelle de l'éternel étudiant en TDE : quand il entend le mot "classe" il pense tout de suite à "classe propre", donc "ouh là là il va falloir prendre des précautions, on va en ch..."

Ludwig · November 2020

Bonjour,

Il y a aussi le livre de Jonas Cohn, Histoire de l'infini, (Cerf, 1994), qui est très bon.
On y parle autant de Dieu que de nombres, mais ce n'est pas antinomique :-).

Edit : 1994 c'est pour la traduction française. Car ce livre date de 1896 et son propos est limité à la pensée occidentale, jusqu'à Kant.

Une histoire sur l'$\infty$

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 5