Exercice livre de P. Dehornoy

Appelons $E$ ton ensemble. Si $E$ est infini, comme il est bien ordonné, il contient une copie $W$ de $\omega$ comme segment initial. Mais alors $W$ n'a pas de plus grand élément !

Une solution peut-être plus élémentaire (au sens où elle ne fait pas explicitement appel à $\omega$, mais bien sûr je ne fais que déguiser la même preuve) : soit $x$ le plus petit élément tel que $S_x = \{y\in E \mid y<x\}$ soit infini. Alors $S_x$ a un maximum $y$, de sorte que $S_y = S_x\setminus\{y\}$ doit aussi être infini, absurde.