Exercice livre de P. Dehornoy
Bonjour,
comment démontre-t-on que si toute partie non vide d'un ensemble admet un plus petit et un plus grand élément, alors cet ensemble est fini ?
comment démontre-t-on que si toute partie non vide d'un ensemble admet un plus petit et un plus grand élément, alors cet ensemble est fini ?
Réponses
-
Appelons $E$ ton ensemble. Si $E$ est infini, comme il est bien ordonné, il contient une copie $W$ de $\omega$ comme segment initial. Mais alors $W$ n'a pas de plus grand élément !
-
Merci.
-
Une solution peut-être plus élémentaire (au sens où elle ne fait pas explicitement appel à $\omega$, mais bien sûr je ne fais que déguiser la même preuve) : soit $x$ le plus petit élément tel que $S_x = \{y\in E \mid y<x\}$ soit infini. Alors $S_x$ a un maximum $y$, de sorte que $S_y = S_x\setminus\{y\}$ doit aussi être infini, absurde.
-
Je paraphrase Max: en considérant le plus petit $a$ tel que $\{x\mid x<a\}$ est infini ou aussi histoire de jouer le plus grand $b$ tel que $\{x\mid x<b\}$ est fini.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Merci pour votre aide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres