Caractérisation des ordinaux limites

Raskolnikov
Raskolnikov
dans Fondements et Logique
Bonjour,
comment démontre-t-on l'équivalence :
1) $\alpha$ est un ordinal limite
2) il existe un ordinal $\beta$ non nul tel que $\alpha=\omega.\beta$ ?

J'imagine qu'il faut procéder (au moins dans un sens) par récurrence sur $\beta$ en distinguant ordinal limite et ordinal successeur, mais je n'en suis pas certain.
Existe-t-il un corrigé des exercices posés dans le livre de P. Dehornoy ?

Réponses

  • marco
    marco
    Bonjour,

    On utilise la division euclidienne pour les ordinaux: il existe $\beta, \gamma$ tel que $\alpha=\omega . \beta+ \gamma$ avec $\gamma < \omega$. Si $\gamma$ est successeur (de $\delta$), alors $\alpha$ est successeur de $\omega. \beta+ \delta$, donc, si $\alpha$ est limite, alors $\gamma$ n'est pas successeur. Comme $\gamma < \omega$, $\gamma$ est donc $0$. Donc $\gamma= \omega . \beta$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu peux utiliser la division euclidienne:

    Théorème: pour tout ordinal $\gamma$ non nul, et pour tout $\alpha$, il existe un unique couple $(\beta,\delta)$ avec $\delta <\gamma$ tel que $\alpha = \gamma \cdot \beta + \delta$

    Preuve : Le plus petit $\mu$ tel que $\gamma \mu > \alpha$ existe, et est un successeur (pourquoi ?), on l'écrit alors $\mu = \beta +1$ et on vérifie que l'unique $\delta$ tel que $\gamma\beta + \delta = \alpha$ est bien $<\gamma$.

    Pour l'unicité, on vérifie que le $\beta$ est nécessairement celui que j'ai indiqué plus haut, et on en déduit que le $\delta$ aussi.

    Application: prendre $\gamma = \omega$, et remarquer que $\mu + n$ est limite si et seulement si $n=0$ (pour $n<\omega$)
  • Raskolnikov
    Raskolnikov
    Merci beaucoup, je n'y aurais pas pensé.
  • christophe c
    christophe c
    je n'y aurais pas pensé.

    Avant de continuer de façon abstraite ton parcours, je t'invite à poser sur le forum un "didacticiel" de ton cru avec des IMAGES, des DESSINS que tu auras faits pour le "plaisir" d'illustrer la notion d'ordinal. Dans le cas présent, par exemple, ça t'aurait rendu les choses évidentes.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Remi S
    Remi S
    .
  • Raskolnikov
    Raskolnikov
    Bonjour, merci pour les conseils ainsi que pour le lien. Il y a notamment la preuve de la forme normale de Cantor que je cherchais. Je trouve certains passages du livre de P. Dehornoy déjà techniques, donc je ne sais pas si j'ai les compétences et connaissances requises pour aborder les livres que vous citez. Je vais me renseigner.
  • Remi S
    Remi S
    .
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Rémi S : bonsoir. Que veux-tu dire lorsque tu écris "je peux te les envoyer" ? Les possèdes-tu physiquement ? Tu peux me répondre par MP, si tu le veux.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Remi S
    Remi S
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  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Merci Rémi S. :)
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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