Forme linéaire

Bonjour,
Je réponds "oui". Soient $F$ un ev sans dimension, $E=F\oplus\Bbb R$ et $p_1,p_2$ les projections de $E$ respectivement sur la première et la seconde coordonnée. Alors $E$ est sans dimension : sinon, si $\cal B$ est une base de $E$, si $(0,1)=\sum_{b\in\cal B} \lambda_b b$ et si $b_0\in\cal B$ est tel que $\lambda_{b_0}\neq0$, alors $p_1({\cal B}\setminus\{b_0\} )$ est une base de $F$. Et $p_2\in E^*$ est non nulle.

@Zephir, comme tu as beaucoup de livres, je vais te dire un truc de très loin, car je n'ai jamais cherché à "m'y chauffer" (et c'est dommage, mais c'est la vie), mais ces notions qui paraissent à moi (cultivés en indécidables divers sur "les relations tumultueuses entre ax du choix et théorie descrptive") sont en fait très parentes des même notions traduites en analyse fonctionnelle.

Et là, faut pas faire comme moi, je ne me suis pas du tout cultivé en analyse fonctionnelle et ne vois pas (en moins de plusieurs heures dans les contextes optimistes) les ponts d'équivalence.

Et là, je crois qu'on a la chance d'avoir un livre magique qui est presque exhaustif alors je me permets de risque de me tromper sur son contenu (que je n'ai plus beaucoup en tête): c'est "analyse fonctionnelle" de Walter Rudin (sans garantie sur le titre).