Hypothèse du continu ?

umrk
umrk
dans Fondements et Logique
Dans la contribution lumineuse que Patrick Dehornoy fait lors du colloque « Logique, Dynamique et Cognition », il explique (si j’ai bien compris …), que l’hypothèse du Continu ne peut être démontrée comme vraie, ni davantage réfutée, dans le système ZFC, en supposant celui-ci non-contradictoire (hypothèse raisonnable, car sinon il n’y a plus qu’à arrêter de faire des maths….).

Quand on se trouve dans une telle situation le plus simple est de faire de cette hypothèse un axiome (ou pas), et alors, comme pour le cinquième postulat d’Euclide, on a tout loisir d’explorer ce qu’implique le fait qu’on ne le retienne pas.

Mais cette option est rejetée par P Dehornoy, sans qu’il s’en explique.

Il poursuit alors son exposé sur la question d’enrichir ZFC avec d’autres axiomes, dont celui des grands cardinaux, détermination projective, etc….. ainsi que des critères pour en décider (dont le fait de savoir si ceux-ci permettront de progresser sur l’hypothèse du continu), et l’intervention du forcing à ce stade, avec des considérations sur une « brisure de symétrie », qui évoquent curieusement la physique, et des interrogations sur ce que peut être un « axiome vrai », … et qui me passent au-dessus de la tête...

Mais si je reprends l’histoire du cinquième postulat, les choses n’ont pu progresser qu’à partir du moment où on a bien voulu considérer "sérieusement" une géométrie dans laquelle il serait faux, et ce devant quoi tout le monde reculait avec horreur, par suite de visions pré-conçues sur ce sujet.

La question est donc : qu’est ce qui dérange donc à ce point dans la fausseté de l’hypothèse du continu, et qu’est ce qui empêche de faire de cette fausseté un axiome ?



(NB : si ce post est stupide, je m’en excuse mais dans ce cas il vous aura au moins fourni une occasion de rigoler, pas si fréquente par les temps qui courent …).

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    qu’est ce qui dérange donc à ce point dans la fausseté de l’hypothèse du continu, et qu’est ce qui empêche de faire de cette fausseté un axiome ?

    Tu as mal compris,

    1/ personne n'est dérangé par le fait qu'il soit faux, ni par le fait qu'il soit vrai.

    2/ Ne t'excuse pas d'avoir mal compris, on est là pour ça!!

    3/ HC est un énoncé (et c'est vrai que là il faut être expert) qui n'est pas seulement indécidable, mais qui est très proche d'être définitivement indécidable au sens où la ruse développée par Cohen pour prouver qu'il est indécidable mène en fait bien plus loin et montre que nous ne possédons rien pour "bien différencier" les mondes où elle serait vraie des mondes où elle serait fausse (à part elle-même ses homologues, etc)

    4/ L'idée est donc de "tenter" (en jouant l'hyper platonicien ou en faisant semblant) de la résoudre sans le faire exprès en la supposant ou en supposant quelques chose qui l'implique de manière évidente.

    5/ Si tu veux c'est un "jeu" assez similaire au suivant: "je vais prouver que je n'ai ps cherché à la prouver via les axiomes qui suivent, blabla". Autrement dit prouver qu'elle peut être impliquée par des axiomes "désintéressées", "sans conflit d'intérêt", etc.

    6/ Toutes ces remarques valent aussi pour sa négation.

    7/ Si tu veux un analogue simple: être un anneau ne force pas à être un anneau commutatif. L'idée est alors de se demander (dans un contexte assez général) si on peut s'affranchir une bonne fois pour toutes au moment où on demandera des crédits au ministère de la recherche ou à la NASA d'étudier les anneaux non commutatifs. Métaphoriquement, la situation est un peu celle-ci.

    8/ A la différence de la géométrie et des parallèles, qui privilégient assez nettement l'axiome D'Euclide pour des questions d'ingénierie, il n'en est rien (en dehors de travaux très profonds, mais néanmoins très loufoques de Woodin) pour HC vis à vis de ZFC.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • umrk
    umrk
    Merci christophe, toujours aussi constructif, même pour des gens de mon petit niveau.
  • Martial
    Martial
    @umrk : Christophe a tout dit. J'en rajoute juste une couche, histoire de bien commencer la journée.
    Ce que Cohen a démontré c'est que le continu peut être égal à n'importe quoi, sauf à un cardinal singulier de cofinalité dénombrable. Donc tu peux t'amuser à vivre dans l'univers qui te plaît le mieux. Ceci dit, il y a des modèles plus sérieux que d'autres.
    Certains énoncés (comme par exemple le principe diamant $\diamondsuit_{\omega_1}$) impliquent HC. D'autres, comme PFA (Proper Forcing Axiom) ou MM (Martin Maximum) impliquent $2^{\aleph_0} = \aleph_2$. Tu vas me dire : "oui mais moi je ne connais aucun énoncé combinatoire qui implique $2^{\aleph_0} = \aleph_{79}$". Et moi je te répondrai : "moi j'en connais un, c'est $2^{\aleph_0} = \aleph_{79}$".

    Plus sérieusement, à la fin de son livre "Set Theory and the Continuum Hypothesis", Cohen écrit en conclusion que, bien que le continu puisse être égal à n'importe quoi ou presque, il y a sans doute des pistes pour privilégier certaines valeurs, et que ce sera le travail des générations futures.
    Dans un autre article plus récent (je n'ai plus la référence en tête), il dit que selon lui il n'y a aucune raison pour que HC soit vraie. Roughly speaking, son argument est le suivant : pour construire les cardinaux usuels ($\aleph_1, \aleph_{18}, \aleph_{\omega}$, le plus petit point fixe de la fonction aleph etc), on ne fait que manipuler à haute dose le schéma de remplacement et l'axiome de la réunion. Alors que pour construire par exemple $\mathbb{R}$ on fait grand usage de l'axiome des parties, qui est un axiome "brutal" et mal maîtrisé. Donc, toujours selon Cohen, il n'y a aucune raison pour que, dans la succession des alephs, on tombe du premier coup sur le continu. Et son avis personnel est que le continu doit être "immensément grand".
  • Martial
    Martial
    Je donne maintenant mon point de vue perso. Je commence par les motivations qui me conduisent à cette idée. Il y a 2 résultats qui m'alertent.

    Théorème 1 : s'il existe sur $[0,1]$ une extension de la mesure de Lebesgue qui mesure toutes les parties de $[0,1]$, ou même s'il existe une mesure $\sigma$-additive qui mesure toutes les parties de $[0,1]$, alors il existe un faiblement inaccessible $\kappa$ qui est $\leq$ au continu.

    Définition : Un cardinal non dénombrable $\kappa$ est dit "à valeurs réelles mesurable" s'il existe sur $\kappa$ une mesure $< \kappa$-additive à valeurs dans $\mathbb{R}^+$.

    Théorème 2 : Si $\kappa$ est à valeurs réelles mesurable, alors soit il est mesurable, soit il est $\leq$ au continu.

    Du coup j'ai envie de prendre comme axiome de base : "le continu est égal au plus petit cardinal faiblement inaccessible $\kappa$". Ça donne une idée de la "cassure" entre le dénombrable et le continu.
    Et ce qu'il y a d'amusant c'est que si on y ajoute l'axiome de Martin MA, on obtient l'énoncé
    $$\forall \lambda, \lambda < \kappa \Rightarrow 2^{\lambda} = \kappa,$$
    c'est-à-dire que le continu est en quelque sorte "faiblement fortement inaccessible".
    Why not ?
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : en fait la situation est simple. IR tout entier n'est pas bien ordonnable. De sorte qu'un univers vérifiant ZFC ne contient que des répliques simulant plus ou moins bien IR.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    C'est lié à "la vraie taille d'un point". Le vrai IR vaut 1/0. Les simulations contiennent des trous plus ou moins inoffensifs pour la science. Nos torts ont été de vouloir gérer 1/0 (donc 0=1) avec des théories consistantes.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Christophe : qu'est-ce qui te fait dire ça ?
    Je sais que ça ne te dérange pas de travailler dans des théories inconsistantes, mais pourquoi le "vrai" $\mathbb{R}$ serait-il non bien ordonnable ?
  • christophe c
    christophe c
    Intuitivement pour des tas de raisons:

    1/ le paradoxe de BS (mais comme on peut le contester à cause de la subjectivité du désir d'homogénéité du volume, voir 2)

    2/ le "bon" paradoxe de BS (qui est une variante cc-maison qui dit que si tu tires au sort une suite $u$ de réels, alors

    $$ min(\{u(2n)\mid n\in \N\}) = min(\{u(2n+1)\mid n\in \N\}) $$

    arrive presque surement. Ici pas de "subjectivité").

    3/ le fait que "moralement" $P(\N)$ devrait être l'algèbre de Boole livre (et complète) engendrée par $\N$ éléments, ce qu'elle ne peut pas être dans un univers vérifiant ZFC (ni même ZF d'ailleurs).

    4/ Il existe une "surjection" dynamique de $\N$ sur $\R$ qui "casse" toute espérance qu'une univers saisisse le bon $\R$.

    5/ Un jeu que j'ai inventé, mais qui est un peu long à décrire (qui casse qu'en présence de AC on ait le bon IR).

    Bon, de toute façon, tout ça, c'est plus ou moins du sexe des anges dans la mesure où la vraie métaphysique devrait tenir compte des avancées quantiques qui cassent même IN lui-même.

    En gros disons qu'en acceptant IN et ZFC, on a une vision moins quantiquement douloureuse de pré-machins-de-remise-en-cause de choses qui se produisent dès lors qu'on commence à mettre le nez sur les conflits qu'li y a entre "vouloir représenter le hasard" (faire des probas) et les habitants des univers ZFC supposés tout contenir. Plus un univers est grand plus il sait parler bien des choses qui sont à l'extérieur de lui.

    Toi Martial, tu sais déjà tout ça au fond de toi, mais tu vis avec. Même $\omega_1$ n'est pas franchement accessible (ie n'est jamais le bon dans un univers fixe).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    "Toi Martial, tu sais déjà tout ça au fond de toi, mais tu vis avec."

    Ça doit vraiment être au fond, alors !
    Mais ça me rappelle une réflexion de Boban, il y a quelques semaines : "quand tu as compris un truc, tu l'écris bien, en général mieux que l'auteur lui-même. Mais ce qui t'empêche d'avancer, c'est que tu es trop respectueux".

    J'aurais dû mettre cette réflexion à la rubrique "mathématiques et psychologie", mais elle n'existe pas encore, lol.
  • christophe c
    christophe c
    Boban t'invite à refaire pour toi tout seul mai 68 j'ai l'impression :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Ben si je lui dis que je suis prêt comme toi à travailler dans une théorie inconsistante il va peut-être revoir ses ambitions à la baisse, lol.
  • axexe
    axexe
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2133180,2133740#msg-2133740
    La phase de Boban m'a bien fait rire mais le forum "maths et psychologie aussi, à garder. (Rire en ce moment fait du bien).

    Sans transition, enfin presque, l'intersection est non vide, il y a Boban:

    PFA implique même que $2^{\aleph_0} = \aleph_2 = 2^{\aleph_1}$ car il entraine le principe MRP.
    Le principe MRP entrainant SCH, (Prix Sacks quand même) de la part d'un étudiant de Boban.
  • Martial
    Martial
    @axexe : je sais que c'est Boban qui a démontré que PFA entraîne $2^{\aleph_0} = \aleph_2$.
    Comme PFA entraîne MA, il est clair que dans ce cas on a aussi $2^{\aleph_1} = \aleph_2$.

    Mais c'est quoi MRP ?
  • Martial
    Martial
    C'est qui l'étudiant en question ?
    Si la question est trop indiscrète, tu zappes...
  • axexe
    axexe
    Mateo Viale qui a montré que le principe MRP impliquait SCH.
    Ellentuck me suit, c'est pas possible.

    Bonne soirée.113214
  • christophe c
    christophe c
    que je suis prêt comme toi à travailler dans une théorie inconsistante

    Ce n'est pas à proprement parler "tout déduire de $0=1$ non plus. J'affaiblis aussi les axiomes logiques. Par contre, oui, la perspective que quelque chose soit inconsistant ne me gêne pas. Je "n'essaie pas" de me placer d'emblée dans un truc consistant "à l'intuition".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @axexe : merci pour ce document.
    MRP n'est pas à proprement parler un principe trivial...

    @Christophe : merci pour tes explications.
  • christophe c
    christophe c
    De rien: j'ajoute un exemple de paradigme: on peut mesurer les longueurs de preuves et considérer que plus c'est long, moins la certitude est parfaite par exemple. Les théories contradictoires démontrent tout, donc c'est borné, mais sous cette borne, il y a "une vie".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • axexe
    axexe
    @Martial

    Je n'ai pas dit que MRP était un principe trivial, simplement tout étudiant ne connaissant pas le forcing peut s'amuser avec lui.
    Si Remi passe par là, il pourra développer (c'est son bébé, au sens oû il a passé 9 ans à l'étudier), mais la sécurité du site à l'air de le gêner et j'ai peur de plus le revoir par ici.

    Sinon, j'aime bien lire les introduction des thèses des étudiants de Boban, elles sont toujours très bien expliquée, avec une partie historique, les progrès récents et parfois elles débordent un peu sur d'autres sujets. C'est un peu la suite du Jech lol.

    J'aimais bien les thèses et mémoires de M2 des étudiant de Duparc à l'EPFL mais le site est mort...
    Todorcevic, je ne les trouve pas en pdf, c'est chiant, car c'est plus mon domaine (ma passion plutôt lol).
  • Martial
    Martial
    @axexe : je n'ai jamais dit que tu avais dit que MRP était trivial. C'était juste une remarque en passant.

    Où trouves-tu les thèses des étudiants de Boban ?

    On m'a dit aussi beaucoup de bien de Jacques Duparc. En tous cas le mémoire de M2 de Yann Péquignot sur la détermination projective est remarquable.

    Peux-tu développer un peu quand tu dis que tu t'intéresses aux travaux de Stevo ?
  • axexe
    axexe
    Sur son site internet, catégorie students.

    Sur Stevo, il fait tellement de choses que bon...
    C'est la théorie de Ramsey qui m'interesse, il a sortie un livre oú il généralise la théorie pour l'appliquer en analyse ou au forcing ou...
    Et dans ses étudiants, il y a souvent le mot Ramsey dedant et j'aimerais bien lire leurs thèses. J'en ai lu qu'une, celle ce Noé de Rancourt, elle est passionante.
    D'autres sont sur la logique continue, ses théorèmes de correspondances, cela je m'en fous un peu.

    C'est surtout les thèses de théorie descriptive appliquées à la théorie des ensembles Ramsey que je cherche.
  • christophe c
    christophe c
    sur la logique continue

    Tu pourras m'envoyer des liens quand tu auras le temps?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @axexe : merci pour l'info, je viens de tout télécharger.

    @Christophe : tu n'as pas tout lu, axexe dit plus haut qu'il n'arrive pas à trouver les pdf des thèses des étudiants de Stevo. Si j'entends parler de quelque chose je vous fais signe à tous les 2.
  • christophe c
    christophe c
    Ah pardon et oui j'avoue Martial, bon dimanche et MERCI
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • axexe
    axexe
    @Christophe

    J'en ai une d'une étudiante de Melleray Julien sur la logique continue (enfin qui donne les bases) qui traine sur mon ordi.
    C'est le chapitre 3 je crois.

    Mais pour avoir un texte solide Todor Tsankov a donné un cours il y a 3 ans au LMFI.

    Et à Ulm ces dernières années il y a eu un cours avancée sur la logique continue par le même Todor.
    Max l'a peut-être suivis ou c'était avant...
    Bref.

    @Martial

    En fait j'en ai une d'un étudiant de Stevo, celle Lionel Nguyen Van The MCF à Marseille sur Ramsey. Mais c'est le domaine que j'aime pas trop.

    Celle qui m’intéresse le plus est celle de Pina Claribet qui donne une classification topologique de type Ramsey des ordinaux dénombrables.

    Bref si quelqu'un passant par là peut me la donner, je lui donne du bon chocolat.
  • umrk
    umrk
    Facile !

    https://www.researchgate.net/publication/280079849_PhD_Dissertation


    (je ne demande aucun chocolat, seulement l'engagement (moral) d'en acheter à zChocolat, entreprise de Forcalquier, qui produit les meilleurs chocolats au monde !)


    https://www.zchocolat.com/fr/
  • axexe
    axexe
    Merci beaucoup umrk!
    Je m'engage à commander des chocolats à zchocolat B-)-
  • Martial
    Martial
    Merci umrk.
    Je vais faire de la pub pour ces chocolats.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Lionel Nguyen Van The ; je l'ai eu comme professeur.

    PS : je vais essayer de le contacter cette semaine.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • axexe
    axexe
    Pour la logique continue c'est là que j'en ai entendu parler pour la première fois.
    cfo.pdf 547.8K
  • Remi S
    Remi S
    .
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Remi S : veux-tu préciser ta pensé en MP, s'il te plait ? C'est trop facile. J'attends de te lire.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Martial
    Martial
    @Remi : je veux bien un MP aussi.
    Merci
  • axexe
    axexe
    @Remi

    De même pour le MP...
    Thierry est une personne qui donne de sa personne pour le forum.
    Il va souvent chercher sur le net des pépites pour aider Martial pour son livre.
    Un forum européen? Tu as picolé?
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