Propriété, proposition, théorème et assertion
Je sais que ce sujet a déjà été évoqué mais j'avoue ne pas m'y retrouver. Je sais aussi que ce n'est pas une question très importante. Mais je me la pose souvent (juste quelques secondes rassurez-vous) lorsque je lis des définitions ou des "résultats" donc j'aimerais bien nettoyer ça une bonne fois pour toute. Et comme j'ai l'impression que cette section du forum comporte certaines personnes très pointilleuses (c'est un compliment !), je suis sûr (j'espère !) que ces dernières sauront me donner les définitions qui font "autorité".
Qu'est-ce qui différencie ces différentes notions ? En particulier :
1) Quand on écrit par exemple la définition d'un espace connexe comme ça : on dit qu'un espace topologique $X$ est connexe s'il vérifie les ?????? équivalentes suivantes :
- il n'existe pas de partition de $X$ en deux ouverts ;
- il n'existe pas de partition de $X$ en deux fermés ;
- toute application....
- etc.
Que devrait-on écrire à la place de ???????
2) Lorsqu'on parle de "propriété universelle" (par exemple celle de l'ensemble quotient) pour un certain objet, s'agit-il d'une propriété ou est-ce un abus de langage ?
3) Dans un raisonnement par récurrence, ce qu'on note habituellement $\mathcal P(n)$ (et qu'on veut prouver pour tout $n$), c'est une assertion, une propriété ou une proposition ?
Pour ma part, j'avais compris que le terme de proposition était synonyme de "théorème facile, découlant directement des définitions", mais n'hésitez pas à me dire si je me trompe même sur ça.
Qu'est-ce qui différencie ces différentes notions ? En particulier :
1) Quand on écrit par exemple la définition d'un espace connexe comme ça : on dit qu'un espace topologique $X$ est connexe s'il vérifie les ?????? équivalentes suivantes :
- il n'existe pas de partition de $X$ en deux ouverts ;
- il n'existe pas de partition de $X$ en deux fermés ;
- toute application....
- etc.
Que devrait-on écrire à la place de ???????
2) Lorsqu'on parle de "propriété universelle" (par exemple celle de l'ensemble quotient) pour un certain objet, s'agit-il d'une propriété ou est-ce un abus de langage ?
3) Dans un raisonnement par récurrence, ce qu'on note habituellement $\mathcal P(n)$ (et qu'on veut prouver pour tout $n$), c'est une assertion, une propriété ou une proposition ?
Pour ma part, j'avais compris que le terme de proposition était synonyme de "théorème facile, découlant directement des définitions", mais n'hésitez pas à me dire si je me trompe même sur ça.
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Réponses
En général (à prendre avec des grosses pincettes, c'est ce à quoi je suis habitué, et je le répète, ce n'est pas universel), on verra les mots suivants, avec les sens approximatifs suivants : théorème (résultat démontré important, l'aboutissement ou un aboutissement d'un travail), proposition (résultat démontré intéressant, pas central mais pas trivial), lemme (résultat intermédiaire, souvent relativement facile à prouver; qu'on aurait pu intégrer dans la preuve principale mais par souci de clarté ou de réutilisation ou autre, on le sépare), propriété (même chose que proposition, mais c'est souvent quelque chose qui concerne un objet en particulier "une propriété de l'espace $X$ est qu'il est blabla"), résultat (même chose que proposition), affirmation (intermédiaire entre lemme et proposition, ou parfois chose encore plus triviale qu'un lemme mais qu'on exhibe; souvent c'est au milieu d'une preuve), corollaire (niveau d'importance d'une proposition ou d'un théorème, il suit un autre résultat important, et sa preuve est souvent rapide/facile à partir de ce dernier).
Bref, la seule chose qui est définie formellement c'est la notion de preuve, et tous les mots ci-dessus désignent les derniers énoncés d'une preuve: ce qui a été prouvé. Il n'y a aucune distinction formelle.
1) conditions, propriétés, ... ce genre de mot. En général on met l'un des deux que j'ai cité.
2) Oui, plus précisément de l'objet et des morphismes qui sont fournis avec (typiquement la propriété universelle "de $X/R$", c'est en réalité la propriété universelle du couple $(X/R, \pi)$ où $\pi: X\to X/R$ est la projection.)
3) Les 3 mots sont tous aussi peu précis et renvoient à la même chose essentiellement donc les 3 conviennent. On choisira selon le contexte ce qu'on préfère, par exemple si on voit "$P(n)$" comme une propriété de l'entier $n$, on dira propriété, mais si on voit $P(n)$ comme un énoncé qui ne dépend que "de manière contingente" de $n$, on dira plutôt "assertion" ou "proposition"
(par exemple "$P(n) = $ $3^n-11$ est divisible par machin" ou quelque chose de ce genre on dira certainement propriété, mais "$P(n) =$ l'espace topologique $X_n$ est Hausdorff" on parlera plus de proposition; mais c'est vraiment une question de goût)
Exemple: propriété "bleu". Arité 1. bleu(x) est une phrase
Exemple: propriété $\subseteq$. Arité 2. $\subseteq (x,y)$ est une phrase (qu'on préfère souvent écrire $x\subseteq y$.
Exemple: propriété "Tom est grand". Arité 0. C'est déjà une phrase.
2/ Proposition, affirmation, phrase, assertion: sont synonymes. Ce sont des propriétés d'arité 0
3/ Théorème, lemmes, fait, fact, etc sont synonymes et veulent dire "phrase prouvée"
4/ Définition, abréviation sont synonymes. La présence de paramètres peut berner les amateurs (et même une partie des professionnels) qui, dans un élan hystérique croient parfois qu'il y a "quelques chose de plus" dans une définition. Symptôme: ils salivent quand ils le disent.
5/ Abus courant: utiliser le mot proposition à la place de lemme ou de fait
6/ Dans les récurrences la propriété que tu évoques est d'arité 1
7/ Un propriété d'arité 0 (et même de toute arité n) est une notion relative: en effet, il est tacite qu'il y a le paramètre "monde" ou "choses non précisées" qui s'ajoutent et peuvent faire voir la même propriété comme d'arité n+1 (donc1 si on part de 0).
8/ Il y a des correspondances évidentes et canoniques: une propriété d'arité n peut être abordée comme une propriété d'arité 1 dont le seul paramètre estun n-uplet. Exemple: Aime(x)(y) qui signifie que x aime y peut aussi s'écrire Aime(x,y) et c'est d'ailleurs la notation que j'ai utilisée (donc improprement) ci-dessus pour ne pas te perturber.
9/ Les manuels scolaires commettent énormément de fautes, dont une célèbre qui est d'écrire "propriété" à la place de "théorème".