Supercompact vs HGC

Salut à tous
J'ai un petit souci avec la preuve du théorème suivant, adaptée du Jech, bas de la page 375.

Théorème : Si $\kappa \leq \lambda$ est $\lambda$-supercompact et si $2^{\alpha} = \alpha^+$ pour tout $\alpha < \kappa$, alors $2^{\alpha} = \alpha^+$ pour tout $\alpha \leq \lambda$.

Preuve : Soit $j : \mathbb{V} \prec M$ témoignant de la $\lambda$-supercompacité de $\kappa$. Par hypothèse, on a
$$\mathbb{V} \models \forall \alpha < \kappa, 2^{\alpha} = \alpha^+,
$$ d'où, par élémentarité,
$$M \models \forall \alpha < j(\kappa), 2^{\alpha} = \alpha^+,
$$ donc en particulier, comme $\lambda < j(\kappa)$,
$$M \models \forall \alpha \leq \lambda, 2^{\alpha} = \alpha^+,
$$ ce qui peut aussi s'écrire
$$\mathbb{V} \models (2^{\alpha})^M = (\alpha^+)^M.
$$ Mais $M^{\lambda} \subseteq M$ implique que $\mathscr P(\alpha)^M = \mathscr P(\alpha)$, d'où
$$2^{\alpha} \leq (2^{\alpha})^M = (\alpha^+)^M = \alpha^+.

$$ J'ai tout compris, sauf la dernière égalité. Pourquoi peut-on affirmer sans vergogne que $(\alpha^+)^M = \alpha^+$ ?
Il me semble que l'argument $M^{\lambda} \subseteq M$ est insuffisant, car dans la bagarre $\alpha$ est seulement supposé $\leq \lambda$. Si par exemple $\alpha = \lambda$, alors $\lambda^+$ est une suite de longueur $> \lambda$, donc il n'y a aucune raison qu'elle appartienne à $M$.

May I have some help, please ?
Merci d'avance
Martial

P.S. Au cas où il y aurait des gens "de passage", je rappelle les définitions.
Définition : 1) Soit $\kappa \leq \lambda$ des cardinaux. On dit que $\kappa$ est $\lambda$-supercompact s'il existe un plongement élémentaire $j : V \prec M$, de point critique $\kappa$, tel que $j(\kappa) > \lambda$ et $M^{\lambda} \subseteq M$, c'est-à-dire que $M$ est close par des suites de longueur $\leq \lambda$.
2) $\kappa$ est supercompact s'il est $\lambda$-supercompact pour tout $\lambda \geq \kappa$.

Le théorème cité ci-dessus a un corollaire immédiat et scotchant : si HGC est vraie en dessous d'un supercompact, alors elle est vraie partout.