I3 vs hugeness
Bon, certes je prends un peu d'avance, mais je cherche une référence avec la preuve que I3 implique la consistance de l'axiome "il existe un cardinal qui est super $n$-huge pour tout entier $n$".
Plus précisément, je crois que si $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ a pour point critique $\kappa < \lambda$**, alors $V_{\lambda} \models \kappa$ est super $n$-huge pour tout $n$.
** auquel cas on a $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n < \omega\}$, où $j^n$ désigne l'itéré nième de $j$.
Merci d'avance
Martial
Plus précisément, je crois que si $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ a pour point critique $\kappa < \lambda$**, alors $V_{\lambda} \models \kappa$ est super $n$-huge pour tout $n$.
** auquel cas on a $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n < \omega\}$, où $j^n$ désigne l'itéré nième de $j$.
Merci d'avance
Martial
Réponses
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Je précise que dans l'article "Wholeness Axiom", Paul Corazza démontre ce fait sous l'hypothèse WA, qui est plus faible que I3. Du coup ça devrait me suffire, mais la preuve de Corazza est un peu difficile à avaler, et en plus il utilise des théorèmes qu'il ne démontre pas.
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Je vais essayer de trouver ça... car ru as mis une new paetie at your book.
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Merci pour le chapitre en plus.
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@axexe : sorry, je t'ai cassé la tête pour rien. Je viens de découvrir que c'est fait dans le livre de Patrick Dehornoy, lemmes 2.2.5 et 2.2.6 page 533.
Bon, c'est un peu le labyrinthe, il faut faire plein d'allers-retours dans le chapitre pour rédiger la preuve correctement, mais je dois pouvoir arriver à reconstituer le puzzle. (Pas aujourd'hui, j'ai passé la journée à faire des achats de Noël à Paris et je suis complètement naze).
Autre chose : il le fait seulement pour les cardinaux n-huge, et pas pour les super-n-huge, mais là encore on devrait s'en sortir grâce au phénomène connu sous le nom de la "double hélice".
Enfin, merci quand même de t'être penché sur mon problème.
Il faut maintenant que je redescende de I3 jusqu'à la définition des huge. -
J'ai pas cherché lontgtemps car j'avais lu ce truc quelque part et j'enseignais ojd.
Si tu l'as trouvé tant mieux.
J'espére qu'il n'y a pas de livres de set theory cachés dans tes cadeaux où une frise das GC pour les plus petits. (Pourquoi pas? lol) -
@Martial : c'est juste dû essentiellement à ce que $V_\lambda \models ZFC$.
Je profite de passer pour dire que je suis anti-$I_{machins}$. Je préfère les axiomes avec la contrainte de forme
$$
Blabla ...j:V\to M \dots M^{Tant} \subset M,
$$ qui a le mérite de FORCER l'existence d'un entier $n$ tels que $non[M^{j^n(\kappa)}\subset M]$ donnant lieu au jeu intérieur: "plus je suis superman, plus ledit $n$ est grand, mais il existera toujours"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Christophe : je ne comprends pas la fin de ton message.
Si $\kappa$ est $4$-huge, qu'est-ce qui te permet d'affirmer qu'il n'est pas $29$-huge ?
Mieux : qu'est-ce qui te permet d'être sûr qu'il existe un entier $n$ tel que $\kappa$ n'est pas $n$-huge ?
Encore mieux : comment peux-tu être sûr que $\kappa$ n'est pas I3, au sens où blabla $V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ blabla, avec $\lambda = j^{\omega}(\kappa)$ ? -
Le théorème précis est
Pour tout j (en notant k son cp), il existe un entier n et une famille de j^n(k) éléments de M qui n'est pas dans V (la famille)
Je te laisse le prouver. Indice: c'est très facile :-D avec ce que tu sais.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je suppose que ça a à voir avec la borne de Kunen, mais comme ça ça ne me vient pas...
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Comme mon pc buggue et ne survit pas longtemps sous le wifi, je te donne la correction en ... blanc. Comme ça tu choisis ton destin :-D
Je note $a_n:=j^n(\kappa)$
Supposons que $\forall n: M^{a_n}\subset M$.
Alors $A_n:=\{j(x)\mid x\in a_n\}$ est dans $M$ pour tout $n$.
De plus la suite $n\mapsto A_n$, dont chaque terme est dans $M$ est aussi dans $M$, car $M^\omega\subset M$.
Donc (Kunen-ctradiction) : $\{j(x)\mid x<\lambda\}$ est dans , puisqu'il est la réunion de la suite précédente $M$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Christophe : j'ai du mal à lire ta prose en blanc. Tu peux me la mettre en clair, STP ?
Par ailleurs, me donnes-tu l'autorisation de mettre cet exo dans mon livre, comme application de la borne de Kunen ?
En fait à la base on s'est mal compris, c'est une question d'interversion de quantificateurs. Moi je disais qu'il pouvait exister un kappa qui soit n-huge pour tout n. Mais cela suppose qu'il y a un $j_4$ qui témoigne de la $4$-hugeness de $\kappa$, et un $j_{29}$ qui témoigne de sa $29$-hugeness. Toi ce que tu dis c'est qu'on ne peut pas réaliser tout ça avec le même $j$.
Ça m'a pris du temps mais j'ai fini par comprendre, lol. -
@Martial : bonsoir. Voici la prose de CC en clair :CC a écrit:[large]Je note $a_n:=j^n(\kappa)$
Supposons que $\forall n: M^{a_n}\subset M$.
Alors $A_n:=\{j(x)\mid x\in a_n\}$ est dans $M$ pour tout $n$.
De plus la suite $n\mapsto A_n$, dont chaque terme est dans $M$ est aussi dans $M$, car $M^\omega\subset M$.
Donc (Kunen-ctradiction) : $\{j(x)\mid x<\lambda\}$ est dans , puisqu'il est la réunion de la suite précédente $M$.[/large]Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@Thierry : merci !
@Christophe : comme tu le vois, j'ai choisi mon destin.
Mais il y a quand même un truc qui ml'embête.
La preuve de Kunen que je connais utilise le lemme suivant : si $j : \mathbb{V} \prec M$ avec $cr(j)= \kappa$ et si on pose $\lambda = \sup \{j^n(\kappa) \mid n \in \omega\}$, alors $V_{\lambda +1 }$ n'est pas inclus dans $M$.
Mais dans ta preuve tu sembles utiliser le fait que $j[\lambda]= \{j(x) \mid x < \lambda\} \notin M$.
Ça revient au même ? -
@Christophe : non c'est bon, j'ai compris. Il fallait juste que je relise la preuve de Kunen : tu commences par montrer que $j[\lambda] \in V_{\lambda +1}$, puis tu démontres que $j[\lambda] \notin M$, ce qui t'amène à $V_{\lambda +1} \not \subseteq M$.
Je fais comme mes (anciens) étudiants, je commence à poser des questions avant de réfléchir. Sorry -
@Christophe : question subsidiaire.
Me donnes-tu l'autorisation de mettre cet exo en toutes lettres dans mon livre, comme application de la borne de Kunen ? -
Merde, j'avais déjà posé cette question hier. Je devrais peut-être aller skier pour m'aérer le cerveau, au lieu de faire de la set theory.
Ah merde, c'est interdit ! (Et puis de toutes façons je ne sais pas skier, lol). -
Ah oui oui tu peux mettre tout ce que tu veux que j'écris dans ton livre!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@Christophe : merci !!!
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