Le forcing a des applications pratiques !

@umrk : ce n'est pas du tout ma spécialité mais je sais que le forcing "sert" dans bien d'autres domaines des maths que la TDE.

Possèdes-tu le livre de Nik Weaver : "Forcing for mathematicians" ?

Je rappelle rapidement ce que c'est (informellement) que le forcing.

Soit $A,B,T$ des ensembles. On se demande s'il existe $f:A\to B$ telle que pour toute paire $p$ incluse dans $A: f_{|p}\in T$. (++)

Quand $B$ est fini, ce problème se traite à coup de compacité. Il y a une solution ssi on ne peut pas prouver qu'il n'y en a pas.

Quand $B$ est infini, la situation est très différente:

- ou bien on peut prouver CASH qu'il n'y a pas de solution
- ou bien on peut prouver "platoniquement" qu'il n'y a pas de solution
- ou bien on ne le peut pas, mais il n'y en a quand-même pas ***
- ou bien il y en a une.

*** cette situation intermédiaire est en fait artificielle car il y en a alors une dans un univers élargi (sans avoir à augmenter sa hauteur) et sans STRICTEMENT RIEN qui distingue cet univers élargi du réel.

Je prends un exemple. Vous savez un gros ensemble $E$ et vous vous demandez si vous pouvez trouver une injection de $E$ dans $\N$. Et bien on est TOUJOURS, s'il n'y en a pas, dans la situation ***. Le jeu est le suivant (je donne un nom à l'injection désirée: $\sigma$).

Lea joue $x_1$ dans $E$ et Bob répond avec $p_1$ dans $\N$ avec l'idée que Bob affirme que la $\sigma$ qu'on ne voit pas, vérifie $\sigma(x_1)=p_1$, puis:

Lea joue $x_2$ dans $E$ et Bob répond avec $p_2$ dans $\N$ avec l'idée que Bob affirme que la $\sigma$ qu'on ne voit pas, vérifie $\sigma(x_2)=p_2$

etc.

Bon bin vous voyez bien que Bob ne peinera pas à prolonger la partie éternellement. Voilà, c'est ça le forcing, c'est faire exister $\sigma$.

Et il se trouve qu'on fait aussi facilement exister tout un supplément de choses en plus de $\sigma$ le tout formant un nouvel univers vérifiant les axiomes des maths (ZFC). C'est la seule partie technique du forcing.

Pour résumer, on a remplacé la question initiale par un jeu où Bob perd dès que la fonctions partielle en train d'être construite ne vérifie la demande (++). Il est plus facile pour Bob d'y avoir une stratégie gagnante que de répondre oui à la question initiale. C'est dans cet entre deux que tout se passe. La quasi totalité des maths non dénombrables s'y jouent, par exemple l'analyse. Un morphisme du corps $\R$ dans lui-même envoyant 3 sur 17 par exemple s'exprime sous la forme (++). On sait qu'il n'en existe pas. On peut alors se demander s'il en existe un qui est virtuel. Etc.

Certains raisonnements célèbres (par exemple Banach Tarski) sont si forts que même en mode virtuel le truc attendu n'existe pas.