I have a dream
Bonsoir à tous,
Grothendieck's dream qu'on appelle aussi Homotopy Hypothesis se résume en la phrase suivante, qu'on cherche à établir,
Est ce que du temps de Grothendieck, ce rêve a été réalisé ?
Qu'en est-t-il actuellement ?
Pourquoi cherche-t-on à réaliser ce rêve ?
Quel impact y aurait-t-il en réalisant ce rêve, sur l'ensemble des mathématiques, et en théorie de Galois supérieure, particulièrement ?
Merci d'avance.
Grothendieck's dream qu'on appelle aussi Homotopy Hypothesis se résume en la phrase suivante, qu'on cherche à établir,
$ n $- groupoîds are the same as homotopy $ n $ - types.
Est ce que du temps de Grothendieck, ce rêve a été réalisé ?
Qu'en est-t-il actuellement ?
Pourquoi cherche-t-on à réaliser ce rêve ?
Quel impact y aurait-t-il en réalisant ce rêve, sur l'ensemble des mathématiques, et en théorie de Galois supérieure, particulièrement ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Non, moi, je connais une partie de l'histoire, mais j'aimerais avoir une idée plus claire sur, où voulait Grothendieck être emmené ?
Voici une des raisons où l'on cherche à réaliser ''the Grothendieck's dream''.
Si $ B $ est un espace topologique non nécessairement connexe, les revêtements $ F \hookrightarrow E \to B $ sont classifiés par les actions du groupoîde fondamental $ \prod_1 ( B ) $ sur $ F $, c'est à dire, par les foncteurs $ \prod_1 (B) \to \mathrm{Aut} (F) $.
Mieux encore, on peut autoriser que la fibre $ F $ diffère dans chaque composante connexe de $ B $.
En conséquence, les revêtements $ E \to B $ sont classifiés dans ce cas là par les foncteurs $ \prod_1 (B) \to \mathrm{Ens} $.
Si on note, $ T $ le foncteur de classification, défini par, $$ T (B ) = \{ \ \text{revêtements de} \ B \ \} $$, alors vouloir dire que les revêtements $ E \to B $ sont classifiés dans ce cas là par les foncteurs $ \prod_1 (B) \to \mathrm{Ens} $, revient à dire, que, $ T(B) = \mathrm{Hom} ( \prod_1 (B) , \mathrm{Ens} ) $.
Si vous connaissez un peu de théorie de classification, pour qu'un objet $ \mathrm{Ens} $ soit un classifiant pour $ T $, il faut avoir, $ T(B) = \mathrm{Hom} ( B , \mathrm{Ens} ) $, et non, $ T(B) = \mathrm{Hom} ( \prod_1 (B) , \mathrm{Ens} ) $.
D'où le rêve de Grothendieck que, $ \prod_1 (B) = B $.
Ajoutons à cela, qu'on préfère aussi que, $ \prod_n (B) = 0 $, pour qu'une partie de la théorie topologique ( théorie des revêtements ) s'identifie à la théorie des $ 1 $ - groupoïdes. Dans ce cas là, on appelle $ B $ a homotopy $ 1 $ - type, et on le note $ K (G,1) $ pour ce cas assez restrictif où il désigne l'espace d'Eilenberg Mac Lane, avec, $ G = \prod_1 (B) $.
As tu des choses à nous raconter sur ce sujet ?
Merci d'avance.
(PS : si une autre personne que Pablo est intéressée par la question, je pourrai répondre)
je ne fais pas beaucoup de mathématiques en ce moment, et je ne me sens pas en mesure de le faire. Mais je suis malgré tout également intéressé par une clarification de l'hypothèse de Grothendieck. Peut-être qu'une introduction historique, si quelqu'un la connaît, serait déjà bien...
ignatus
https://math.ucr.edu/home/baez/homotopy/homotopy.pdf
http://user.math.uzh.ch/cattaneo/deflorin.pdf
Il y a aussi des questions posées sur mathoverflow, qui souvent contient des explications intéressantes :
https://mathoverflow.net/questions/266738/current-status-of-grothendiecks-homotopy-hypothesis-and-whiteheads-algebraic-h
https://mathoverflow.net/questions/171717/grothendiecks-homotopy-hypothesis-applications-and-generalizations
https://mathoverflow.net/questions/269172/why-grothendiecks-homotopy-hypothesis-is-so-difficult
PS: je suis d'accord avec toi qu'il faudrait faire ce genre de recherches au préalable, mais évidemment ce n'est pas Pablo qui va faire ce genre de choses. Quant à ignatus, il a juste sauté sur l'occasion :-D
La première, je l'avais trouvée tout seul et postée sur un autre fil. Il m'avait semblé que la présentation de Baez était assez complète, mais nécessitait du travail pour vraiment comprendre les termes mathématiques qu'il introduisait. C'est là que la seconde référence peut s'avérer utile, car cette thèse de master, après un premier survol, m'a semblé une bonne introduction à la théorie de l'homotopie.
Je suis d'accord pour proposer que l'on indique les références sur lesquelles on s'appuie avant de poser une question, même s'il s'agit d'un article de wikipedia, car le forum n'a pas pour vocation à dispenser des cours entiers sur des sujets pointus.
ignatus.
Il y a largement de quoi faire avant de poser une question sérieuse à ce sujet...
ignatus.
PS : J'espère que tu n'as pas mal pris le fait que j'intervienne dans ton fil Pablo. Je l'ai fait pour t'aider à obtenir des réponses. Il me semble que tu en as eu...
Merci à vous tous de m'avoir répondu. ;-)
@ignatus,
Ne t'inquiète pas. Je suis ravi que tu participes à cette discussion.
@Aux autres,
J'ai parcouru de vue les liens proposés par Nicolas H, mais, je n'ai pas trouvé de réponses à mon questionnement,
Pourquoi le rêve de Grothendieck dans son rapport avec les mathématiques se résumait à cet objectif d'établir the Homotopy Hypothesis ? Qu'est ce qu'il y a de miraculeux dans cet objectif ?
Quelqu'un a-t-il une réponse ?
Merci d'avance.