Axiome du choix et sections des surjections
Bonjour.
Je voudrais démontrer que si toute surjection admet une section (i.e est inversible à droite), alors j'ai l'axiome du choix sous sa forme "fonction de choix de X dans UX", mais pour l'exercice je me refuse d'utiliser la notion de réunion de famille, de produit cartésien de famille ou encore d'union disjointe de famille. (L'union d'un ensemble est bien entendue elle autorisée au vu de ce que je souhaite démontrer)
Ma question est donc de savoir si c'est possible de faire cela, et si oui comment ?
PS : j'accepte aussi l'axiome du choix sous sa version "fonction de choix de P(E) dans E"
Merci !
Je voudrais démontrer que si toute surjection admet une section (i.e est inversible à droite), alors j'ai l'axiome du choix sous sa forme "fonction de choix de X dans UX", mais pour l'exercice je me refuse d'utiliser la notion de réunion de famille, de produit cartésien de famille ou encore d'union disjointe de famille. (L'union d'un ensemble est bien entendue elle autorisée au vu de ce que je souhaite démontrer)
Ma question est donc de savoir si c'est possible de faire cela, et si oui comment ?
PS : j'accepte aussi l'axiome du choix sous sa version "fonction de choix de P(E) dans E"
Merci !
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Réponses
Tu dis "produit cartésien de famille" : autorises-tu $A\times B$ ? Si oui, on peut remplacer l'union disjointe classique par un truc extrêmement naturel : soit $F\subset P(E)\times E$ l'ensembles des couples $(A,x)$ tels que $x\in A$.
Il se surjecte naturellent sur $P(E)\setminus\{\emptyset\}$, et une section est une fonction de choix
Et je crois que tu es obligé d'accepter $A\times B$ ne serait-ce que pour formuler la notion de fonction de choix.
Oui, le produit cartésien simple × est autorisé !
Je vais essayer de comprendre ton idée, merci beaucoup !
De nos jours, on peut insérer un texte de longueur arbitraire avant des chapitres déjà écrits. Quand j'étais petit, je lisais un Popeye. Pour je ne sais plus quelle raison on lui avait offert une boite d'épinards géante (de 20 m de haut). Ils ont installé une échelle avec ses amis et il est monté, a plongé et mangé toute la boite.
Et ses amis de demander, l'entendant arriver en bas de la boite après avoir tout mangé :
"mais comment va-t-il sortir, on n'a pas mis d'échelle de l'autre côté?"
Bon je n'ai pas bien compris ce qui était dit dans la plaisanterie (enfin le rapport entre ce gag de Popeye et ma situation), mais ce n'est pas bien grave haha
Bonne année à toi aussi :-D
Il me semble que cette équivalence est plus "de base" que la notion de famille (et donc de produit cartésien sur une famille), mais c'est de mon goût personnel.
Je ne crois pas que cela obscurcit quoi que ce soit, sachant qu'à la fois l'énoncé que j'ai de l'axiome du choix (avec une application d'un ensemble $X\to\bigcup X$, ou avec une application de $\mathcal{P}(E)-\{\emptyset\}\to E$) de manière simple, et de même, la démonstration proposée par Maxtimax est simple et compréhensible.
Une famille est une fonction, c'est même dommage qu'il y ait deux mots différents pour désigner la même chose. Je te redonne (heureusement qu'il fait froid, ça me dissuade de sortir).
Pour un ensemble quelconque $a$ tu as
- un domaine qui est $\{x\mid \exists y: (x,y)\in a\}$
- un codomaine qui est $\{x\mid \exists y: (y,x)\in a\}$
- une réciproque qui est $\{(y,x)\mid \exists y: (x,y)\in a\}$
- l'image directe de n'importe quel autre ensemble $b$ par $a$ qui est $ImDi(a,b) := \{y \mid \exists x\in B: (x,y) \in a\}$
- l'image réciproque de n'importe quel autre ensemble $b$ par $a$ qui est $ImRe(a,b):=$ l'image directe de $b$ par $a^{-1}$
noté respectivement $dom(a), codom(a), a^{-1},deja,deja$.
$a$ est une fonction si tout singleton $b$ vérifie $ImDi(a,b)$ est vide ou singleton. Quand il n'est pas vide, l'unique élément est noté $a(b)$
$a$ est une fonction de $b$ dans $c$ quand $dom(a)\subset b$ et $codom(a)\subset c$
$a$ est une application de $b$ dans $c$ quand c'est une fonction avec en plus $dom(a)= b$ et $codom(a)\subset c$
$a$ est une surjection de $b$ dans $c$ quand c'est une fonction avec en plus $dom(a)=b$ et $codom(a)\supset c$ (ou pour d'autres gens quand $codom(a)=c$, mais ça fait parfois cafouiller les choses)
$a$ est injective quand $a^{-1}$ est une fonction
Et sache que le mot famille veut juste dire "fonction". Par exemple $a$ est une famille indicée par $b$ veut juste dire $a$ est une fonction de domaine $b$
J'ai déjà "formalisé" tout cela : j'en suis à plus de 300 pages désormais, voici la dernière version que j'ai publiée il y a deux mois http://myreader.toile-libre.org/uploads/My_5fb67e1f7017a.pdf même si j'ai pas mal avancé depuis.
Je ne fais pas du tout de logique par contre ! Cela explique notamment parfois le choix de deux de mes axiomes qui vont probablement vous faire bondir, mais j'assume, le propos n'est pas de faire de la logique mais des maths telles que moi je les pratique.
Je n'ai pas donné "quelques", j'ai donné "toutes les" quasiment.
J'écris ce livre pour moi-même.
Oui je propose des exemples, je décris des propriétés, des notations, je mets des gros cadres, je saute des lignes, forcément ça prend de la place, et je ne propose pas exactement le même formalisme de la notion d'application que toi.
Et puis tu aurais pu regarder plus loin que le sommaire, tu verrais qu'effectivement les 200 pages ne sont pas que des définitions, et que les démonstrations sont extrêmement détaillées mais surtout espacées, ce qui prend de la place
mouhahaha, je crois que 90% des tes post auraient mérité que tu te dises la même chose avant de les rédiger...:-D
PS. c'était pour en rajouter une couche
Or, nul besoin de l'axiome du choix pour définir la notion de famille.
Après, effectivement, c'est affaire de goût...
Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi tu te casses la tête à ce point.
Si tu as besoin de la notion de famille pour démontrer ton théorème, qui est-ce qui t'empêche de l'introduire avant ?
D'autant, comme dit CC, qu'il suffit de faire des CC (copier-coller).
C'est pas comme il y a 40 ans, où fallait tout retorcher à la main...
La preuve que j'ai indiquée est l'une des plus simples (elle nécessite très peu de choses en plus) et elle a un sens géométrique qui dépasse largement la TDE :-D
Bref, si Daniel ne veut pas encore avoir parlé de familles à ce moment là, je ne pense pas que ce soit un problème.
Essayez de comparer la preuve que je suggère à une faisant intervenir des familles et vous verrez qui se casse la tête ;-)
Je viens de parcourir de manière plus patiente, mais je n'ai pas trouvé d'axiomes "à bondir", en dehors de mes remarques d'hier sur le temps immense que tu dois passer à écrire tout ça.
Pour info culturelle, si chaque fois qu'on a $f$ surjection $A\to B$, on a l'existence de $g$ telle que g injection $B\to A$, alors on a l'axiome du choix. Il n'est pas nécessaire de supposer que $f\circ g = id_B$.
https://mathoverflow.net/questions/101169/not-especially-famous-long-open-problems-which-higher-mathematics-beginners-can/122673#122673
Mais j'ignore pourquoi, chaque fois que j'essayais de me le rappeler, je tombais sur des énoncés dontje pouvais prouver qu'ils =>AC.
Donc du coup un grand merci pour cette retrouvaille
@Martial: la seule fois où j'avais entendu parlé de cet énoncé en plus, c'est avec JLKrivine lors d'un duo et quand j'avais pris le métro, je m'étais dit qu'il sucrait peut-être les fraises (j'avais tort) du fait que je n'en avais jamais entendu parler avant (ça devait être en 2005-2006). Max vient de me fournir une deuxième occurrence qui prouve que je n'avais pas rêvé cette histoire.
C'est parce que ça ferait à mon sens un mélange pas très esthétique (selon-moi). Quand j'en suis à parler de cette équivalence, j'en suis encore à développer la notion d'application, et donc j'ai pas envie de mélanger d'un coup en plein milieu la notion de famille, de réunion de famille, de produit cartésien de famille et d'union disjointe de famille. Ça fait un énorme détour qui casse le fait qu'on a pas fini de développer la notion d'applications.
@Christophe C. Pour info culturelle, si chaque fois qu'on a $f$ surjection $A\to B$, on a l'existence de $g$ telle que $g$ injection $B\to A$, alors on a l'axiome du choix.
Comment on montre cela ? Ça m'intéresse. Une référence ?
De mon côté, je pense que ma mémoire a confondu avec que l'énoncé suivant entraine l'axiome du choix: pour deux ensembles quelconques, il y a toujours une surjection de l'un sur l'autre.
J'en reviens aux "typages" :-D (je sais que Max aime bien, mais ses raisons sont assez différentes des tiennes) et aux contraintes terribles que ça inflige à ton document et je te résume comment marchent les maths et la théorie des ensembles en termes de naturalité. Ne t'inquiète pas, je fais court.
1/ Tout d'abord, il faut que tu prennes vraiment conscience que ce ne sont pas les axiomes et ZF qui sont importants. Ca c'est une grosse erreur courante. Et c'est elle qui a conduit à l'indigence actuelle et aux usines à gaz, dont une des conséquences est l'énorme déperdition estudiantine.
2/ Faire des maths ,
- c'est juste mettre un signe EGAL entre deux phrases:
2.1/ La phrase $u\in \{x\mid R(x)\}$
2.2/ La phrase $R(u)$
- et utiliser l'extensionalité qui dit que les ensembles ne distinguent pas deux ensembles qui se comportent de la même façon.
3/ Alors évidemment, tu me diras, c'est une théorie contradictoire à cause de $\{x\mid (x\in x) \to (5=9)\}$ qui est un ensemble $a$ tel que
$$ (a\in a) = [(a\in a)\to (5=9)] $$
qui va donc faire que, comme $(a\in a)\to (5=9)$, tu auras donc $a\in a$, puis $(5=9)$.
Et bien ce n'est absolument pas important. Car ça ne change strictement rien aux raisonnements. Simplement, les raisonnements de maths courantes utilisent seulement des petites ensembles, donc ne tombent pas apparemment sur des contradictions, mais il n'en reste pas moins vrai que l'évitement ne condamne $a$ à l'inexistence, mais à "l'interdiction d'en parler" qui est tout de même un peu maladroite, quand on pense entre autre aux censures religieuses totalitaires.
4/ Bref, j'ai fini, je voulais juste te dire que ta fatigue n'est pas justifiée au sens où tu n'as pas besoin d'introduire des axiomes un à un et de "trembler" avec le chapitre qui va l'exploiter à suivre.
5/ En plus, c'est se priver de toute une faune d'objets canoniques comme par exemple (je ne sais pas si ça existe, mais peu importe) un ensemble $E$ tel que $E=$ l'ensemble des topologies compactes sur $E$ ou encore $F$ tel que $F=$ l'ensemble des bijections de $F$ sur $F^8$
Si c'est au début, si si ça implique bien AC avec le mot "surjection" puisque tu auras une surjection d'un ordinal assez grand sur E (quelqu'il soit)
(Je te taquine mais rajoute un ou deux mots :-P)
C'est d'ailleurs une critique sérieuse à faire du mot surjection je trouve. Je signale donc à tous (je laisse l'erreur du coup) qu'il n'y a pas de surjection de $\N$ sur $\emptyset$ au sens académique du mot "surjection". J'aurais dû écrire "non vides" (les lecteurs qui liront le post d'avant comme ça devront, s'ils ne lisent pas la suite, assumer de n'avoir rien vu et surtout, s'ils lisent la suite mais plus tard, l'émotion sera profitable (plus que si je corrigeais me semble-t-il).
Mais bon, je suis homotopiste, donc la notion d'injection n'existe pas, c'est une forme de surjection en dimension supérieure
Simplement quand tu fais de l'homotopie, tu te rends compte que ce n'est pas "$f(x) = f(y) \implies x=y$" que tu prouves en général, mais plutôt "$(x=y)\to (f(x)=f(y))$ est surjective" ($\to$ étant le truc qui assure que si $x=y$, $f(x)=f(y)$). Evidemment, si on interprète $(x=y)$ comme $\{t\mid t= \emptyset \land x=y\}$, il y a bel et bien une telle application et sa surjectivité est équivalente à l'injectivité de $f$.
C'est un peu bête de faire ça pour des ensembles, mais en homotopie c'est beaucoup plus raisonnable et ça devient utile
Il font le travail, c'est tout ce que je leur demande. Je ne cherche pas à leur donner plus d'importance que cela, juste moi ils me conviennent, je les trouve jolis et pratiques.
"4/ Bref, j'ai fini, je voulais juste te dire que ta fatigue n'est pas justifiée au sens où tu n'as pas besoin d'introduire des axiomes un à un et de "trembler" avec le chapitre qui va l'exploiter à suivre. "
Quelle fatigue ? Je m'amuse ! Je fais ça pour le plaisir, parce que j'aime bien. Tout se passe très bien pour moi, pas de tremblement ou autre.
Je vois plutôt ça comme une série avec des personnages : j'attends le bon moment pour introduire tel ou tel personnage, parce qu'esthétiquement je trouve ça plus joli que de montrer tous les protagonistes dès le début dès la scène n°1, c'est tout.
C'est exactement ce que je fais dans mon livre :
https://sites.google.com/view/martial-leroy
J'ai horreur des bouquins** qui commencent par : "Salut les gars les filles, voici la liste des axiomes de ZFC...". "Et maintenant nous allons consacrer les 528 pages qui suivent à en examiner quelques conséquences"***. Le lecteur se demande qu'est-ce qu'il a fait au Bon Dieu pour s'être fait arnaquer de 100 zeuros ou plus en achetant le bouquin.
Le truc c'est que toi et moi on n'a pas la même vision de l'ordre dans lequel on doit introduire les choses... mais au fond ça n'a aucune importance. L'essentiel c'est qu'il y ait une logique interne dans ton papier, qui permette au lecteur d'y retrouver ses petits.
** Bon, évidemment si tu écris un papier destiné à des lecteurs "avertis" c'est différent : tu peux alors te permettre de rappeler au début les axiomes, parce que tous les mathématiciens ne les connaissent pas par coeur. Mais je ne pense pas que ça soit ton objectif.
*** Boban est entièrement d'accord avec moi sur cette question. Je dis ça pour ceux qui le connaissent, dont Christophe. (Merde, j'aurais dû le dire au début, car il ne va jamais lire ce truc jusqu'au bout, lol).
Quand les gens s'inscrivent à un club d'échecs ou de go, ou démarrent la moindre activité du même genre, leur initiation commence par un exposé exhaustif des règles. Et après ils participent à un débat intelligent avec tous les éléments en main.
Les mathématiques ne peuvent pas s'enseigner "par imprégnation intuitive" comme "une langue" (ne serait-ce que parce que les concepts de maths n'appartiennent tout simplement pas au monde sensible, ou alors sous une forme très très indirecte: savoir interpréter une dérivée comme une vitesse demande déjà une éducation préalable). La preuve en est l'inefficacité monumentale du système éducatif qui s'efforce pourtant exactement de faire ça.
Quand à ces fameux livres non destinés aux professionnels qui démarrent par les axiomes et qui déduisent je ne sais quoi: il y a des exemples à part Bourbaki qui date de plus de 50 ans? Personne ne fait ça, la norme est plutôt le contraire. On ne peut pas ériger en phénomène sociétal oppressif un truc quasi inexistant ...
La seule raison à la présence des axiomes de ZF c'est la recherche de consistance et absolument pas son fonctionnement. Je le redis, le fonctionnement des maths est simple, c'est $\{x\mid \dots \}$ qui a été mis à la place de $x\mapsto \dots $ et l'extensionalité (qui platonise le monde mathématique mais dont l'imprudence a fait perdre la perception quantique)
Même si historiquement l'introduction des axiomes de ZFC (pré 1930) s'est faite à une époque où les gens tentaient d'établir la consistance des maths, fonder les maths n'a rien à voir avec ça (de nombreux fondements alternatifs ont été proposés bien après la découverte des théorèmes d'incomplétude).
C'est quand même fou cet homme de paille assimilant les efforts de construction de fondements à des tentatives de réfutation du théorème de Gödel.
C'est comme si on disait
"vous voulez donner les règles précises du jeu d'échec? C'est parce que vous croyez qu'on peut savoir instantanément si une position donnée est GAGNANTE ou non".
"vous voulez donner le code source explicite d'une fonction récursive? C'est parce que vous prétendez résoudre le théorème de l'arrêt".