Preuve bizarroïde à améliorer
Dans le post2, je vous raconterai le souvenir de ma life concerné, mais là, j'ai un peu la flemme, donc je vais droit au but et au purement mathématique.
Soit $A$ une ultrapuissance stricte de l'anneau $\Z$. Vous pouvez voir ça comme un suranneau qui est "toutes les propriétés qui comptent" de $\Z$ quand elle sont énoncées au premier ordre. Pas au second ordre, hien, il n'est pas noethérien par exemple (sinon ce serait $\Z$ lui-même)
Dans le passé, (il y a fort fort longtemps :-D ) pour une raison que j'ai la flemme de décrire (je le ferai plus tard), entre le bas d'un escalier et le haut d'un escalier (au sens propre), j'ai décidé de renoncer à l'existence de la fonction $s$ qui suit (et de fait elle n'existe pas), et de procéder (un peu) autrement pour résoudre un "petit" problème ouvert, dont j'ai peut-être déjà parlé.
Or ce qui m'étonne, ce que me remémorant cette aventure, je n'ai trouvé que des preuves "longues" de l'inexistence de $s$. Or tout porte à croire que durant la montée de ce petit escalier, il m'était apparu "évident" que $s$ n'existe pas. Mais je me trompe peut-être. Peut-être qu'il m'atait seulement apparu évident que son existence n'était pas évidente. Bref..... les mystères de la mémoire.
La fonction $s$.
1/ Elle va de $A$ dans $\Z$
2/ Elle est additive (attention, elle n'est pas supposée morpher le produit)
3/ Elle est telle que \forall x\in A: x-s(x)\in \Z.
La preuve (incroyablement longue) que je me fais AUJOURD'HUI de son inexistence.
4/ Notons $\phi$ telle que $\forall x\in A: x = \phi(x)+s(x)=x$.
5/ On a que $\phi(x)=x$ ssi $s(x)=0$ ssi tout élément de $\Z^*$ divise $x$ (facile)
6/ Il suit qu'avec le développement de $(\phi(a)+s(a))(\phi(b) + s(b)) = ab$, on obtient $s(ab)=s(a)s(b)$
7/ En prenant $s(2^x)$ avec $x$ infini dans $A$, on obtient une contradiction, car il ne peut que vérifier $s(2^x)=0$
Mon souhait: savoir si cette preuve alambiquée n'est pas remplaçable par une preuve triviale.
Soit $A$ une ultrapuissance stricte de l'anneau $\Z$. Vous pouvez voir ça comme un suranneau qui est "toutes les propriétés qui comptent" de $\Z$ quand elle sont énoncées au premier ordre. Pas au second ordre, hien, il n'est pas noethérien par exemple (sinon ce serait $\Z$ lui-même)
Dans le passé, (il y a fort fort longtemps :-D ) pour une raison que j'ai la flemme de décrire (je le ferai plus tard), entre le bas d'un escalier et le haut d'un escalier (au sens propre), j'ai décidé de renoncer à l'existence de la fonction $s$ qui suit (et de fait elle n'existe pas), et de procéder (un peu) autrement pour résoudre un "petit" problème ouvert, dont j'ai peut-être déjà parlé.
Or ce qui m'étonne, ce que me remémorant cette aventure, je n'ai trouvé que des preuves "longues" de l'inexistence de $s$. Or tout porte à croire que durant la montée de ce petit escalier, il m'était apparu "évident" que $s$ n'existe pas. Mais je me trompe peut-être. Peut-être qu'il m'atait seulement apparu évident que son existence n'était pas évidente. Bref..... les mystères de la mémoire.
La fonction $s$.
1/ Elle va de $A$ dans $\Z$
2/ Elle est additive (attention, elle n'est pas supposée morpher le produit)
3/ Elle est telle que \forall x\in A: x-s(x)\in \Z.
La preuve (incroyablement longue) que je me fais AUJOURD'HUI de son inexistence.
4/ Notons $\phi$ telle que $\forall x\in A: x = \phi(x)+s(x)=x$.
5/ On a que $\phi(x)=x$ ssi $s(x)=0$ ssi tout élément de $\Z^*$ divise $x$ (facile)
6/ Il suit qu'avec le développement de $(\phi(a)+s(a))(\phi(b) + s(b)) = ab$, on obtient $s(ab)=s(a)s(b)$
7/ En prenant $s(2^x)$ avec $x$ infini dans $A$, on obtient une contradiction, car il ne peut que vérifier $s(2^x)=0$
Mon souhait: savoir si cette preuve alambiquée n'est pas remplaçable par une preuve triviale.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
(Pour que tout soit robuste, je vous dis l'intention : je prends un représentant par classe pour la relation $(x,y)\mapsto x-y\in \Z $ qui morphe pour l'addition. J'ai juste buggué avec le point 3 qui voulait redirele point1, mais où je pensais à $\phi$.
@Max: les points 1 et 2 du coup entraine son inexistence "tout court". Même s'il y a tout plein de mesurable.
Si tu les comptes comme non strictes alors je suis d'accord (sans avoir compris ta preuve)
Ce que j'appelle ultrapuissance c'est le résultat, pas l'ultra filtre par lequel on passe. Je crois que tu as interprété strict par "on est parti d'un ultrafiltre non principal".
De mon téléphone
A vu comme IZ-module contenant IZ comme sous anneau strict n'est pas la somme directe de IZ avec un autre sous module.
Question: est-ce trivial ou faut-il passer par des arguments un peu détournés ?
En principe il y a toujours des arguments de type divisibilité dans ce genre de chose, c'est pour ça que ton sketch ne me surprend pas.
Je t'explique pourquoi j'ai dit ce que j'ai dit plus haut: étant donné un ensemble $I$ quelconque, il y a une application naturelle $\bigoplus_D \mathbb Z\to \hom(\prod_I\mathbb Z,\mathbb Z)$ où $D$ est l'ensemble des ultrafiltres $\omega_1$-complets sur $I$ (ça veut dire $<\omega_1$ hein), $\hom $ les morphismes de groupes.
Ce morphisme envoie $1$ indicé par l'ultrafiltre $U$ sur $\prod_I\mathbb Z\to \prod_I\mathbb Z/U\cong \mathbb Z$.
Il y a un théorème plus ou moins connu qui annonce que c'est un isomorphisme ! i.e. tout morphisme $\prod_I\mathbb Z\to \mathbb Z$ s'écrit de manière unique $\prod_I\mathbb Z\to \prod_{i=1}^n \prod_I\mathbb Z/U_i \to \mathbb Z$ où les $U_i$ sont des ultrafiltres $\omega_1$-complets, la première flèche est le produit des réductions, et la seconde est la somme des $n_i \times$ l'isomorphisme canonique. L'important étant évident la surjectivité : tout tel morphisme s'écrit comme ça.
Un corollaire évident de ce théorème est qu'un morphisme $\prod_I\mathbb Z/U\to \mathbb Z$ ne peut exister que si $U$ est $\omega_1$-complet, et qu'alors c'est un multiple de l'isomorphisme canonique.
Donc effectivement, dès que c'est strict, $U$ n'est pas $\omega_1$-complet, et donc ça n'existe pas - il n'est pas surprenant que ce corollaire ait des preuves plus simples.
Pour être très précis, c'est ton dernier paragraphe que je ne capte pas qui pour moi dit "et "si $s$ existe alors c'est l'identité"**
** pour simplifier, j'ai mis l'hypothèse $\Z$ est un sous-anneau de $A$, ça évite les "à isomorphisme près".
(oui, "$\omega_1$-complet implique $\Z$" est évident, la réciproque aussi, mais ce n'est pas ce que je dis)
En quoi est-il EVIDENT que si $s$ existe alors c'est l'identité?
Pour faciliter notre communication, oublie que $A$ est une ultrapuissance. Hypothèse: $\Z$ est un sous-anneau de $A$ et une sous-structure ELEMENTAIRE de $A$.
Soit $s: \mathbb Z^I/U\to \mathbb Z$.
Je précompose avec $\mathbb Z^I\to \mathbb Z^I/U$, ce qui me donne $\mathbb Z^I\to \mathbb Z$. Maintenant, lui, par le théorème mentionné, s'écrit $\sum_{i=1}^n n_i [U_i]$, où je note $[U_i]$ la composition $\mathbb Z^I\to \mathbb Z^I/U_i \cong \mathbb Z$, avec des $n_i$ non nuls et des ultrafiltres $\omega_1$-complets distincts $U_i$.
Maintenant soit $J\subset I$, et supposons que $J \in U_1$. Je prétends qu'alors $J$ est nécessairement dans $U$. En effet, quitte à prendre un $J$ plus petit, je peux supposer qu'il n'est dans aucun autre $U_i$ que $U_1$, et je peux alors prendre $x$ qui vaut $1$ sur $J$ et $0$ autre part. Alors $\sum_i n_i [U_i](x) = n_1\neq 0$, donc forcément $s(x) \neq 0$ et donc forcément l'image de $x$ dans $\mathbb Z^I/U$ est non nulle, i.e. $J\in U$.
Bon j'ai dit $U_1$ mais bon, c'est $U_i$ en réalité, et donc $\bigcup_i U_i \subset U$. Par maximalité, $n=1$ et $U=U_1$ est $\omega_1$-complet, et $s$ est un multiple de l'identité.
Mais ça je suis bien d'accord que ton théorème entraine le truc que je veux de façon évidente (je l'ai prouvé au premier post sans théorème et même si un peu almabiquée la preuve n'est pas méchante non plus).
Je trouve ton théorème fascinant et je t'en remrecie.
Mais, ce n'était pas DU TOUT MA QUESTION.
Certes, j'ai gagné ton théorème au passage (que tout qutotient de produit de $\Z$ est blabla, et crois-moi, je te resolliciterai pour l'acquérir), mais ce n'était pas ma question.
Ma question c'est "existe-t-il une preuve en quelques lignes sans outil pour prouver l'inexistence de $s$, un peu comme on prouve que tout morphisme additif de $\Q$ dans $\Z$ est nul"
Dans mon souvenir, entre le bas et le haut de l'escalier, j'avais PEUT-ÊTRE prouvé l'inexistence de $s$ comme ça. Or je ne retrouve plus de telle preuve triviale.
"par contre tu as l'air de dire que ça entraine l'inexistence de ma fonction s et là, je n'arrive pas à te suivre.
Pour être très précis, c'est ton dernier paragraphe que je ne capte pas qui pour moi dit "et "si s existe alors c'est l'identité""
Ainsi qu'à "Enfin tu n'affirmes pas que c'est évident, mais tu affirmes que c'est un cas particulier d'un théorème connu."
Comme je n'affirmais pas que c'était évident, je ne m'imaginais pas que tu me demandes une preuve que ça l'était :-D
Je ne crois pas qu'il y ait de preuve évidente. Même le cas simple "un morphisme $\mathbb Z^\mathbb N\to \mathbb Z$ nul sur les suites finies est forcément nul" requiert une astuce de divisibilité (pas trop complexe, mais "inspirée")
Merci. Donc en gros la preuve que j'ai donnée serait peu améliorable ..
D'un pc je raconterai l'anecdote sociologique qui m'a amené à penser le contraire.
1/ Comme déjà dit, j'ai découvert les ultrafiltres (que j'ai appelés "visions") seul à l'occasion suivante:
1.1/ Discutant dans un bar de casino, appliquant (sélectivement, on ne voit que ce qui nous arrange) des hypothèses très forte d'invariance à une supposée mesure $m$ 1sur $E^\N$, avec $E$ bien ordonné,
1.2/ j'ai réalisé qu'on avait "pour $m$-presque tout $u\in E^\N$, le plus petit des termes de $u$ indicé par un nombre pair $=$ le plus petit des termes de $u$ indicé par un nombre impair, donc que $\{X\subset E\mid $ pour $m$-presque $u$, le plus petit des termes de $u$ est dans $X\}$ est un ultrafiltre.
2/ J'ai réfléchi un certain temps tout seul à ça et me suis éclaté (je découvrais les ultrafiltres), puis suis allé dans un bibli chercher au hasard des livres. Je suis tombé sur Rolland Fraissé, que j'ai parcouru
3/ A la fin il présentait un problème dit officiellement ouvert qui était "$\N$ est-il définissable dans $(\Z,1,+)$?"
4/ Pour prouver que non, j'ai donc pris une ultrapuissance de $\Z$ avec la volonté d'y construire un morphisme additif $s$ tel que $s(1)=1$ et qui viole le signe des nombres.
5.1/ Et c'est là que j'ai vu, en sortant de la bibli après posé le livre et pris un café à la machine, montant l'escalier, que je ne pouvais prendre une telle $s$ car elle n'existait pas.
5.2/ Ce n'était pas grave, j'ai pris un sous anneau plus souple de l'ultrapuissance qui permet "tranquillement" de faire ce morphisme qui viole le signe et résolu le problème, puis suis allé contacter un spécialiste, brref, blabla, la suite est privée.
6/ Là, où je pense que ma mémoire me trompe c'est que ce n'est pas la version "c'est là que j'ai vu que je ne pouvais prendre une telle $s$" de mon souvenir qui doit être la bonne, car malgré ma jeunesse à l'époque (je devais avoir 18-20ans, je ne sais plus, je clochardisais), je ne m'imagine pas du tout écrire de tête dans un escalier un café à la main ce que j'ai écrit au 1er post.
7/ Je pense que la bonne version est : c'est là que j'ai vu que ce neserait pas évident, donc que j'ai pris un plus gros sous-anneau". entre voir que c'est pas évident et voir que c'est faux, il y a un monde.
8/ Le problème des souvenirs périphériques attachés à ce montage d'escalier (je me revois jouer à "ce sera pas divisible par 2 donc je n'aurai pas de représentant") est je pense dû au fait que je montrais à ce moment là que toute morphisme additif de $\Q$ dans $\Z$ est nul (là pour le coup c'est évident) et que ce souvenir s'est appauvri.
Ce dernier mot sort un peu de notre vocabulaire ces temps-ci, et parfois je me demande si je n'ai pas eu des hallucinations les dernières fois que j'y suis allé...
Mais quand même, d'après les quelques souvenirs qui me restent, il me semble que j'ai beaucoup pensé aux ultrafiltres dans ma vie, mais rarement dans un bistrot... ou alors il fallait vraiment que le barman soit mou du genou et mette 1/2h à me servir...
** j'ai énoncé le truc émergent dans le récit.