Un théorème de Maxtimax que j'isole

:-D

Moi je suis "signophobe" tout simplement. théoriquement, ces énoncés là me deviennent évidents quand je les ai digérés, donc merci pour les précisions et reformulations, c'est parfait.

Bon, hélas, là, j'ai fait un petit retour sur twitter-et-le-Coran (qui était devenu mon autre addiction forumique) depuis quelques jours et je suis un peu "vidé" par rapport à la grande aventure des ultrafiltres. (Pour tou tdire, je n'ai toujours pas "visualisé dans ma tête" l'énoncé). Je vais corriger ma coquille déjà.

@Foys: quand tu t"ennuieras, tu prendras plaisir à prouver que le plus petit inaccessible est trop petit pour qu'il y ait dessus un ultrafiltre sigma additif non principal. A ce que je vois, tu ne savais pas :-D et là, comme excursion platonicienne, c'est de la balle tu verras (ce n'est pas très difficile, attentoin Axiome du choix obligé)

Bon, je suis en mode grignotage toute la journée, pardon, je poste donc un nouvel élément.

On prend l'ensemble $L$ des ultrafiltres $W$ tels que pour toute $f: \{x\mid f(x) \in [-\phi(f), \phi(f)]\}\in W$ et $H$ l'intersection des éléments de $L$.

1/ $H$ est EVIDEMMENT un très gros filtre contenu seulement dans un nombre fini d'ultrafiltres tous omega1 additifs.

2/ Il reste à prouver que $H=G$.

3/ Une fos prouvé que $H=G$, je pense que ça doit se terminer "relativement" à coup de quelques "calculs-en-anneau" habituels.

Je suis sur mon pc, mais je voudrais sortir boire un café, donc je me dépèche mais je poste car ne veux pas faire attendre foys.

Je note $X\to Y$ l'ensemble des applications de $X$ dans $Y$.

1/ Un ENSEMBLE inaccessible c'est la plus simple idée que tu peux te faire de la philosophie $ZF$: c'est un $E$ transitif qui n'est pas dénombrable, tel que pour tout $x\in E: P(x)$ est aussi dans $E$ et (c'est là où tu avais un flou) tel que pour toute partie $A$ de $E$, pour que $A$ ne soit pas dans $E$, il faut qu'il existe une surjection de $A$ sur $E$. Ainsi, tu as l'axiome du choix gratuit et le modèle rêvé de ZFC.

2/ Les cardinaux inaccessibles sont les cardinaux des ensembles inaccessibles.

3/ J'en reviens à ce fil dont il serait dommage qu'il reste confidentiel car il devrait "intéresser la terre entière" et il ne faut pas avoir peur.

4/ Les ultrafiltres sur $E$ sont les "fantômes" d'éléments de $E$, c'est à dire qu'ils ont les propriétés algébriques des $T_a := \{X\subset E\mid a\in X\}$. Ce sont donc les plus beaux objets qui soient, puisqu'ils permettent, avec l'axiome du choix d'aller "au delà de $E$, sans vraiment en sorti en temps fini".

5/ Pour des raisons que je ne détaille pas ici (vous pouvez vous reporter au livre qu'est en train d'écrire Martial), un ultrafiltre a énormément de mal à être stable par intersections dénombrables.

6/ Je laisse quelques instants les ultraflitres et passe à un des "sauts quantiques cérébraux importants" de l'activité scientifique.

7/ Un ultrafiltre est un cas particulier d'élément de $(E\to F)\to F$ avec $F:=2$ et qui ressemble fort à un élément de $E$, au sens où il est "presque vrai" qu'il et de la forme $(f\mapsto f(a))$ pour un certain $a$.

8/ Mais franchement, on peut s'en ficher de $F$ et dire qu'on décide capricieusement que tout élément $\phi$ de $(E\to F)\to F$ "se doit" de réprésenter un élément $a$ de $E$ au sens où $\forall f\in E\to F: \phi(f)=f(a)$.

9/ Alors évidemment, pour des $\phi$ quelconques, ce n'est pas vrai, puisque ce n'est déjà même pas vraiment vrai pour des ultrafiltres (qui sont des $\phi$ cohérentes de $(E\to 2)\to 2$)

10/ Cependant, ll y a plein de domaines de maths (GA a dit récemment que c'était ma fonction préférée la naturelle qui va de $E$ dans $(E\to F)\to F$ ) où les gens s'amusent à "organiser" cette idée capriceuse. Parfois, il n'y a rien à faire (quand $E$ est un ev de dim finie, $F$ le corps et $\phi$ un élément du bidual).

11/ L'important dans ce domaine, c'est qu'on peut "lâcher ses coups". Je précise un peu le sens de ce terme :

12/ Soit $\phi\in (E\to F)\to F$, avec $F$ infini. Et bien le filtre $F_\phi$ engendré par les $A_f:=\{x\in E \mid f(x)=\phi(f)\}$ ou bien est impropre (c'est $P(E)$) ou bien est "génial" dans le sens que c'est un ultrafiltre et qu'il est stable par intersections dénombrables (et si $F$ n'était pas infini, on a la même chose sans le stable par I.Den)

13/ En catégories par exemple, comme il y a un ADN algébrique, on a posé es hypothèses ultrafortes qui fait que les $\phi$ concernées sont la plupart du temps de la forme $f\mapsto f(a)$ à cause de Yoneda. (Pour être plus précis, si pour tout $X$ vous avez $\phi_X: (E\to X)\to X$, vous récupérez un élément de $E$ avec particularisant $X:=E$ et en prenant $a:=\phi_E (id)$ et des hypothèses commandées par les désirs des algébristes à propos de $\phi$ font que $\forall X, f : \phi_X(f) = f(a)$)

14/ L'énoncé discuté dans le présent fil est la présentation d'une $\phi$ qui n'est pas tout à fait quelconque, mais qui est quand même telle que le $F_\phi$ défini en 12 ci-dessus vérifie, hélas, mais de peu $\emptyset \in F_\phi$.


15/ Cela tient à ce qu'on n'a pas mis dans les hypothèses le fait que $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$, mais seulement $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ sinon il serait évidemment trivial que $\phi$ serait de la forme $x\mapsto pick(xF_\phi)$

où $fW := \{A\mid \{x\mid f(x)\in A\}\in W\}$ et $pick(T_a)=a$ où $T$ est défini en (4) ci-dessus.

16/ Mais le théorème du présent fil dit qu'à "une sorte de superposition quantique près", on va avoir presque ça.

Je reviens au théorème signalé par Maxtimax (pardon pour le délai, je virvilte entre le forum, twitter, instagram) pour découper en items une de ses preuves possibles. A notre qu'un truc que j'ai considéré comme trivial est en fait un truc que je n'ai pas du tout prouvé (je vais l'admettre), car (calculs), je me suis emmêlé les pinceaux.

Le théorème fait l'hypothèse suivante: $E$ ensemble et $\phi$ application ADDITIVE qui va de $A:=\Z^E$ dans $\Z$.

Le théorème prétend en qu'on en déduit la chose suivante: il existe $c:=(U_1,..,U_n)$ ultrafiltres stables par intersections dénombrable tels que

$$\{ (T(f,c), \phi(f)) \mid f\in A \}$$

est une fonction, notant $T(f,c):=(p_1,..,p_n)$ tels que $\forall i: \{x\in E \mid f(x)=p_i\}\in U_i$.

(J'ai affaibli, sans perte de généralité, la conclusion pour rendre digeste le phènomène, l'aspect combinaison linéaire est pour le coup REELLEMENT conséquence triviale de ça)

Je découpe la preuve de ça en tranches.

1/ D'abord remarque hors-sujet : si on demandait $\phi$ aussi multiplicative ce serait trivial, et on aurait en conclusion $n=1$, avec en outre
$$\forall f\in A \forall p\in \Z: [\phi(f) = p \iff \{x\mid f(x)=p\}\in U_1$$

du fait que $\phi$ ne serait alors qu'une façon de décrire l'ultrafiltre (le $+$ ne suffit pas à donner toute la logique, mais le $+$ et le $\times$ oui, via les trois traductions :

$ab=(a$ ou $b)$
$a+b=(a\iff b)$
$1-a = non(a)$

pour l'ensemble $\{0;1\}$


2/ Preuve du théorème.

J'admets (je croyais que c'était évident, mais c'est calculatoire et je ne peux donc pas m'y retrouver vraiment en un temps décent) le lemme suivant:

2.1/ Lemme1:
soit $(B_1,B_2..) $ une partition de $E$ en $\N$ morceaux. Alors il existe un entier $n$ tel que $\{([f_{|(B_1\cup ..B_n)}], \phi(f))\mid f\in A\}$ est une fonction. Admis (dans l'attente de jours meilleurs. De toute façon, j'ai cru lire un post où Max et Guego le démontrent en quelques lignes, mais c'est très calculatoire. Je mettrai un lien à l'edit.

edit: Foys prouve ce lemme (une version similaire) dans le lien qui suit: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2174178

Dans la suite je note $n(B)$ le plus petit tel entier pour la partition $B$.

2.2/ soit $F$ le filtre engendré par les $R(B) := \{x\mid \exists q\in \N: q=n(B)$ et $x\in [B_1\cup ..\cup B_q] \}$, quand $B$ parcourt les partitions indicées par $\N$ de $E$.

2.3/ Lemme2: soit $U$ un ultrafiltre tel que $F\subset U$. Alors $U$ est stable par intersections dénombrables.
Preuve facile

2.4/ Lemme3: $G:=\{U\in UltrafiltreSur(E) \mid F\subset U\}$ est fini.
Preuve facile en utilisant le lemme2 (tout filtre ayant une infinité d'ultrafiltres qui le prolongent en voit au moins un le prolonger sans être stable par intersections dénombrables).

Remarque triviale: si $U \in G, f\in A$, il existe un unique $p\in \Z$ tel que $\{x\mid f(x) = p\}\in U$. Je note $fU$

2.5/ Lemme4 et fin: $\phi(f)$ ne dépend que de $U\in G\mapsto fU$.
Preuve facile.

Voici une preuve (à quelques modifications près) du lemme1 que j'ai admis.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2174178

@Martial, si tu me lis, j'envisage de faire un HAL avec toutes les émergences d'ultrafiltres sigma-additifs connues dues aux maths "traditionnelles".

C'est bien mon intention. Ces théorèmes sont trop rares pour qu'on en oublie.

Dès que j'aurai trouvé une preuve "douce" (sans calculs ni difficultés abstraites) du présent théorème de Max, je rédigerai.

Bon allez, petite contribution quotidienne à la recherche d'une "preuve douce": quand on remplace $\Z$ par $\N$ le théorème est TRES FACILE à prouver.

Mais il n'est pas interdit, du coup, pour les petits (ou grands) malins, de ramener calculatoirement $\Z$ à $\N$ via je ne sais quelle astuce, ni même si elle existe :-D