Détermination projective
Bonjour,
Je viens de faire mon baptême ensembliste en lisant La théorie des ensembles de Patrick Dehornoy. Le chapitre XV sur la détermination projective m'a laissé un peu sceptique. Je ne comprends pas vraiment les arguments en faveur du fait de considérer DP comme un axiome "vrai", ils me paraissent assez légers. En particulier, j'ai l'impression qu'ils s'appliqueraient presque aussi bien pour, par exemple, légitimer l'axiome DP+ ou même "il existe un cardinal de Laver".
Par conséquent, est-ce que vous auriez svp une source/lecture/réflexion/explication pour comprendre pourquoi DP fait consensus ? Merci à vous.
Je viens de faire mon baptême ensembliste en lisant La théorie des ensembles de Patrick Dehornoy. Le chapitre XV sur la détermination projective m'a laissé un peu sceptique. Je ne comprends pas vraiment les arguments en faveur du fait de considérer DP comme un axiome "vrai", ils me paraissent assez légers. En particulier, j'ai l'impression qu'ils s'appliqueraient presque aussi bien pour, par exemple, légitimer l'axiome DP+ ou même "il existe un cardinal de Laver".
Par conséquent, est-ce que vous auriez svp une source/lecture/réflexion/explication pour comprendre pourquoi DP fait consensus ? Merci à vous.
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Réponses
Patrick Dehornoy était un ami, mais je ne suis pas toujours d'accord avec lui.
Là, on n'est pas dans les maths, on est dans le ressenti psychologique. Je suis entièrement d'accord avec lui sur le fait que tant que les axiomes de grands cardinaux (DP, DP+, I3 etc) n'ont pas été reconnus comme inconsistants on doit leur accorder toute notre attention.
Et c'est vrai que DP règle beaucoup de problèmes, notamment concernant les propriétés de régularité de la droite réelle.
Mais là où il exagère un peu c'est quand il dit voilà, le système axiomatique de base a changé, on ne travaille plus dans ZFC, mais dans ZFC + DP. Il a le droit d'accorder une préférence à ce système plutôt qu'à d'autres, mais il ne peut pas obliger tous les mathématiciens du monde à le suivre, sauf en cas de consensus international, ce qui n'est pas encore le cas à ma connaissance.
@Poirot : je connais depuis longtemps le texte que tu as mis en lien. Mais depuis Woodin a tourné sa veste, il a abandonné la Omega-Conjecture et penche en direction de V= Ultimate_L, qui (horreur cosmique !) entraîne HGC.
1/ En fait, je vais te dire un peu comme Martial en le formulant autrement.
2/ Il est SOCIOLOGIQUEMENT VRAI que tout théorème actuellement découvert et prouvé dans ZFC + DP est considéré par la Nomenclatura set théoriste comme "vrai" (comme un théorème de maths dans lequel, pour l'énoncer, on ne signale pas qu'on a utiliser $DP$. De ce point de vue, PaDe a raison, et à l'origine de ce mécanisme platonicien, on ne doit pas considérer que c'est Woodin qui est "responsable de tous les comportements de tous les spécialistes".
3/ Moi-même, si je prouvais (ça ne risque pas d'arriver) la conjecture de Riemann ou celle d'Hadwiger en utilisant DP, voire en utilisant des grands cardinaux robustement installés (ie les $n$-huge$ en gros), j'annoncerais (sans aucune volonté espiègle) que j'ai prouvé ces conjectures. Je n'annoncerais pas que je les ai déduites de grands cardinaux. Il faudrait aller lire l'abstract pour y dégoter l'information que je les ai déduites de GC.
4/ Et même plus précisément, "personne ne me le reprocherait". Le referee ne mettrait pas dans son rapport de préciser que j'ai utilisé des GC dans le titre. Et pour ce qui concerne la médaille Field, personne parmi le jury n'irait dire qu'il faut mettre dans le compte-rendu avec insistance l'utilisation de GC. Certes, ils sont hélas, souvent un peu agés et peu nombreux, mais les autorités scientifiques mondiales sont (même si non spécialisées) suffisamment au courant des statuts ontologiques de ces axiomes pour ne pas les accuser.
5/ Alors certes, on peut discuter à perte de vue philosophiquement sur la pertinence d'accepter des preuves qui mettent en encre tacite l'utilisatoin de GC, et je pense (je n'ai pas relu ce que tu évoques, ni le lien de Poirot, mais dans le passé je l'avais déjà lu) que PaDe a tenté une sorte d'explication de "comment on en est arrivé là" (mes points 1 à 4). Ce faisant, il a tenté une mission impossible de toute façon. Donc tu ne trouveras pas (par Godel) de réelle amélioration de ce qu'il a pu faire, vu que c'était un homme qui perfectionnait déjà beaucoup ce qu'il construisait
6/ La seule chose que je peux te dire pour "apaiser ta colère", en gros, c'est que les GC sont aux maths ce que le fait d'utiliser l'infini banal est aux petits calculs et du coup les refuser conduit les refuseurs à présenter une bouille très ressemblante à celle que présenterait un matheux ombrageux refusant l'axiome de récurrence au titre du risque qu'il fait prendre du fait de sa puissance. Autement dit, ils se développent dans une sorte de confiance en la CONSERVATIVITE des théorèmes qu'ils induisent au sens où si un énoncé d'arithmétique est prouvé par eux, il est "vrai" même dans les autres modèles bien fondés qui ne vérifient pas ces axiomes.
Seul bémol : la médaille Fields ne peut être décernée qu'à une personne de moins de 40 ans, donc on est b... tous les deux.
Il ne nous reste qu'un espoir : Maxtimax !
@Max : ne le prends pas mal, je vannais, bien sûr, car je sais que tu n'aimes pas qu'on dise ça.
Mais précision : je n'ai jamais sous entendu même indirectement que je la voudrais pour moi (en dehors du fric, je la refuserais même si on me l'offrait, l'anonymat donne une liberté précieuse que les gens trop décorés découvrent avoir perdu trop tard bien souvent).