Définition d'un ensemble donnée par Cantor

Bonjour.

Une réponse plus mathématique, puisque Cantor parle mathématiques, est que "distinct" est simplement le contraire de "égal".

Cordialement

Cette définition est tellement nulle que je suis un peu gêné de le dire. Ne surtout pas la prendre dans quelque cours ou livre que ce soit. Il y aurait écrit: nous entendons par ensemble un ensemble d'objets, ça aurait été presque plus assumé.

Pour ce qui concerne le mot distinct, l'apsect opératoire t'a été donné par Max : c'est l'axiome d'extensionnalité (il arrive les mêmes choses aux ensembles ayant les mêmes éléments).

Le mot ensemble n'a pas de définition puisqu'il permet de définir tous les autres, donc tu tomberas forcément sur des circularités.

Opératoirement, un nom $A$ désigne un ensemble quand pour tout $x: x\in A$ est une phrase.

Autrement dit, tu ne définis pas le mot ensemble, mais comment un truc qui a déjà un nom se comporte. J'ai un peu menti car j'ai supposé que $\in$ est donné.

En fait, la bonne définition est la suivante:

$<<X$ est un ensemble$>>$

veut dire

$<<$ pour tout $Y: (<<X(Y)>>$ est une phrase$)$.

Mais pour plus de comodité, on notera $Y\in X$ à la place de $X(Y)$.

Tu ne peux pas utiliser le signe $=$ et dire que "distinct" est son contraire, car tu n'as pas encore défini $=$ quand tu définis "ensemble".

L'axiome d'extensionnalité dit que pour tous ensembles $a,b$ :

Si $\forall x: [(x\in a)\iff (x\in b)]$

Alors $\forall x: [(a\in x)\to (b\in x)]$

Si tu veux tu peux abréger par $x=y$ la phrase $\forall t: (x\in t\to y\in t)$

@Christophe : je trouve que tu es un peu dur avec Cantor. (Le vrai, pas CB). Bon, d'accord, c'est mon pote alors ma vision est peut-être un peu biaisée.

Mais ce que je veux dire c'est qu'il faut reconstituer les choses dans le contexte. On est au tout début de la TDE, les gens sont très frileux avec la notion d'ensemble, en particulier infini. Donc à l'époque tu ne peux pas commencer un traité en parlant d'un type d'objet que tu n'as pas défini, même si la définition est bancale. (Ce dont, j'en suis à peu près sûr, Cantor est parfaitement conscient).

D'ailleurs je crois que Dedekind dit la même chose. De mémoire : "J'appellerai multiplicité (Mannigvaltigkeit) la mise en commun d'objets issus de notre pensée".

Bon, mais tout cela n'est pas bien grave...

De mon téléphone@Martial. Je ne voulais pas critiquer Cantor bien sûr mais la définition circulaire.

Pas sûr d'ailleurs qu'à l'époque Cantor ait appelé ça une définition, je ne suis pas cultivé.

@CB: EtreFruit(voiture) est une phrase. Fausse.

Pour la mémoire...

@Foys : pèlerinage
Bon ben merci, j'aurai appris quelques chose aujourd'hui... et ça fait environ 58 ans que je l'écris avec un accent aigu.

@CB : oui, en théorie naïve tu peux mettre tout et n'importe quoi dans un ensemble. C'est une idée relativement récente (18ème, 19ème). Auparavant on ne considérait (au mieux) que des ensembles de nombres, ou de points, ou de moutons etc, mais pas question de mélanger.
Suite aux travaux de Bolzano et Riemann on s'est autorisés à mélanger les genres : un ensemble $A$ peut contenir une voiture, un fruit, une fonction et 54 dés.

@Poirot : je n'ai pas compris ton intervention concernant $\emptyset$.

@CB: je viens seulement de voir ta question, mais je ne comprends pas ce que tu cherches à savoir.

1/ Tu as des phrases et des ensembles

2/ Un ensemble est une fonction qui envoie tout objet sur une phrase

C'est le standard grammatical le plus courant.

Le standard équivalent, mais unitype est: tu n'as que des fonctions et tu appliques n'importe quoi à n'importe quoi. Pour décrire une nouvelle fonction tu utilises

$$x\mapsto \dots$$

comme syntaxe (il y a d'autres moyens, mais peu importe).

Pour es raisons de confort, les gens ont historiquement décidé de "cloturer", c'est à dire d'avoir la phrase comme objet acceptable dans un texte, ce qui peut se comprendre. Avec l'habitude, on n'aime pas les suites de mots non terminées, comme par exemple

"le chat qui voit la lune"

on préfère

"le chat qui voit la lune miaule"

C'est conventionnelle + c'est pratique car on a pris l'habitude de voir la valeur d'une phrase comme habitant un ensemble $\{faux; vrai\}$, muni d'opérations assez canoniques et qui sont les plus utilisées de l'histoire dans tous les textes (négation, conjonction, disjonction, implication)

Mais opératoirement, ça ne change rien, que tu dises que:

$a\in [x\mapsto (x$ est pair$)]$

ou que tu dises

$a\in \{x\mid x$ est pair$\}$

c'est juste que le mapsto est changé en accolades et mid.

Grammaticalement, $a\in \{x\mid x^2>50$ et $(x^3+1)\}$

veut dire

$[a^2>50$ et $(a^3+1)]$

et comme ça n'a pas de vocation à être dans $\{faux; vrai\}$

il est traditionnellement préféré l'écriture

$[x\mapsto (x^2>50$ et $(x^3+1))] (a)$

qui se lit "machin de a"

plutôt que "a appartient à machin"

mais dont la valeur est toujours

$[a^2>50$ et $(a^3+1)]$

Bonjour,

une flaque d'eau peut elle être considérée comme un ensemble dont les éléments sont des gouttes d'eau ?

D'abord, disons que l'on ne fait pas de mathématiques ici, ensuite, vous ne pouvez pas identifier les gouttes dans une flaques.
Si vous voulez un exemple concret (que l'on peut faire évoluer vers plus abstrait) prenez un jeu de cartes qui est un ensemble de cartes.

B... de m..., j'ai voulu répondre à CB, et j'ai cliqué sur "envoyer" à l'instant précis où quelqu'un déplaçait le fil de "Fondements et Logique" vers "Pédagogie". Et du coup mon post est parti dans la stratosphère.

En gros je disais qu'on pouvait toujours considérer une flaque d'eau comme un ensemble de molécules $H_2O$. Mais ce n'est pas franchement du macroscopique...

[Navré Martial :-(. Quand cela t'arrive, tu reviens dans ton navigateur sur les fenêtres précédentes, jusqu'à retrouver ton message avant l'envoi, que tu copies dans la souris pour le coller ailleurs. ;-) AD]

Bonjour CB.

Effectivement, une flaque d'eau n'est pas un ensemble de gouttes d'eau. Mais tu illustres surtout le fait que des mots flous font des idées floues : Où commence et où s'arrête la flaque ? Je sais ce qu'est une goutte d'eau dans le cadre de la pluie ou du robinet qui goutte, mais où sont les gouttes dans le ruisseau ou le verre ?
Donc ce n'est probablement pas un bon exemple.

Peut-être celui-ci, bien connu des statisticiens : L'ensemble des français n'est pas un ensemble. Je te laisse trouver pourquoi les statisticiens ne considèrent pas qu'il s'agit d'une population.

Cordialement.

NB : Quel intérêt pour des enfants de 10 ans ?
NBB : On enseignait les ensembles en sixième vers 1970. Tu devrais lire les cahiers Galion, fruits de la réflexion d'une équipe de profs lyonnais très engagés depuis des années dans la réflexion sur l'enseignement des maths.

Et à moi, tu peux me répondre ????? Car si je sais ce qu'est une flaque d'eau, je ne sais pas où elle s'arrête ... la boue au fond, c'est dans la flaque ? si oui jusqu'où ? si non, à partir de quand ? Et les bords, mouvants quand il pleut ou quand l'eau s'évapore ? A propos, l'eau qui s'évapore, à partir de quand fait-elle partie de la flaque ?

Je pense que tu sous-estime la curiosité des enfants de 10 ans.

Cordialement.