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Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 12:34
Bonjour.
Je me mets à lire des cours de logique et je suis tombé sur les catégorie et je trouve cela fascinant.
J'ai un peu de mal à me représenter concrètement ce qu'est un foncteur.
Auriez vous des exemples simples de foncteurs covariants et contravariants dans des petites catégories?

Merci
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 13:07
Les exemples les plus simples ne seront pas sur des petites catégories, car celles-ci apparaissent en général un peu plus tard.

Voici des exemples que j'espère simples:

1- Soit $X$ un ensemble. Alors, sur la catégorie des ensembles on a le foncteur décrit sur les objets par $Y\mapsto X\times Y$, et sur les applications par $(f:Y\to Z)\mapsto (X\times f: (x,y)\mapsto (x,f(y)))$

2- Un exemple de foncteur contravariant (il faudra bientôt oublier cette appellation, mais pour le moment faisons avec) : sur la catégorie des ensembles, $X\mapsto P(X)$, l'ensemble des parties de $X$, donné sur les applications par $(f:X\to Y)\mapsto (f^{-1} : P(Y)\to P(X))$, où $f^{-1}$ associe à un sous-ensemble de $Y$ son image réciproque par $f$.

3- Sur les espaces vectoriels, un foncteur contravariant : le dual, qui, à $V$ associe $V^* = \mathcal L(V,K)$ et à $f:V\to W$ associe $f^* : \ell \mapsto \ell\circ f$.

4- De manière tout à fait générale, le foncteur identité: il associe $X$ à $X$ et $f$ à $f$

5- Soit $C,D$ deux catégories et $d$ un objet de $D$. Alors il y a un foncteur $C\to D$ qui envoie tous les objets sur $d$ et toutes les flèches sur $id_d$, on parle de foncteur constant.

6- Soit $C$ une catégorie dans laquelle toutes les flèches sont inversibles (on parle de "groupoïde"); Alors il y a un foncteur contravariant de $C$ vers $C$ qui envoie tout objet sur lui-même, et la flèche $f:x\to y$ sur son inverse $f^{-1} : y\to x$.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 13:26
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@Maxtimax : bonjour. Pourquoi faudra-t-il bientôt oublier l’appellation "foncteur contravariant" ? Est-ce en vertu des catégories opposées ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2021 13:26 par Thierry Poma.
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 13:36
avatar
Bonjour.

Pour aller dans le même sujet, je vois mal comment modifier l'appellation contravariant sans, dans la foulée, modifier aussi l'appellation covariant.

Mais c'est peut-être approprié.

J'ai aussi envie de connaitre la nouvelle appellation et son intérêt.

À bientôt.

Cherche livres & objets du domaine mathématique : intégraphes, règles log & engins [électro]méca ou analog
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 13:41
Thierry (et Dreamer) : tout à fait, il n'y a qu'une seule notion de foncteur (qui correspond, dans la vieille terminologie, aux foncteurs covariants)
Un "foncteur contravariant $C\to D$" est tout simplement un foncteur $C^{op}\to D$ (ou $C\to D^{op}$, selon ce qui nous intéresse)

pourquoi c'est mieux ainsi ? Eh bien, déjà, ça fait moins de mots, moins de définitions, surtout quand les deux concepts sont les mêmes. Mais surtout parce qu'il n'y a pas de définition particulièrement raisonnable de la "catégorie des foncteurs contravariants". En effet, il y a $Fun(C^{op},D)$ et $Fun(C,D^{op})$ qui font l'affaire. Ce n'est pas trop dérangeant au début (l'une est simplement l'opposée de l'autre !), mais c'est quand même beaucoup mieux de préciser ce qu'on entend par là.
Bref, la notion de foncteur contravariant peut être perturbante, et n'a aucun intérêt; il vaut donc mieux l'abandonner.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 14:00
Bonjour existe-t-il des bouquins en français traitant essentiellement des catégories?
Merci.
Amicalement.
Jean-Louis.
P.S.:ça ne m'amuse plus de lire en anglais...
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 14:14
Des bouquins, pas à ma connaissance. Tu trouveras certainement des pdfs en ligne par contre

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 15:47
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Merci pour l'explication, c'est effectivement plus clair comme cela.

Ce n'est donc pas un changement d'appellation mais un regroupement de plusieurs appellations qui, autrement, induisent plus d'incompréhension.

Par contre, ce changement, est-il imminent ?

Pour les références en français, j'ai (comme beaucoup de monde, j'imagine) une sorte de monographie, mais c'est une centaine de pages (format A5) tout au plus. Si je remets la main dessus, je donnerai la référence.

À bientôt.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2021 16:51 par AD.
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 15:51
avatar
@Jean-Louis : bonjour. Pour l'existence, l'on peut compter sur le livre de Charles Ehresmann intitulé "Catégories et structures" (de lecture difficile) ainsi que sur le livre de P. Jaffard et G. Poitou intitulé "Introduction aux catégories et aux problèmes universels", lequel est complet. Quant à l'accessibilité pour chacun d'eux, c'est une [tout] autre affaire.

@Maxtimax : je te remercie pour tes interventions. Ce n'est effectivement pas plus mal de procéder de la sorte.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2021 15:52 par Thierry Poma.
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 16:33
Merci à tous.
Jean-Louis.
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 16:55
Dreamer : je disais "bientôt" par rapport à l'apprentissage de geo grinning smiley presque personne n'utilise encore la notion de foncteur contravariant, sauf informellement (typiquement si une personne dit quelque chose en ayant mal interprété un foncteur, on pourra lui répondre "non attention c'est contravariant"); ou encore pour certains foncteurs qui ont une "version covariante" et une "version contravariante" (mon exemple 2- par exemple, il y a le " contravariant power set functor", que j'ai décrit, et le "covariant power set functor" qui envoie $f$ sur l'application "image directe" plutôt que "image réciproque" ; ce genre de nom est utile quand on veut ne décrire que l'action sur les objets)

Malheureusement beaucoup de bouquins l'emploient encore (de sorte qu'en découvrant cette notion, on a l'impression de devoir apprendre 2 notions !!)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2021 16:56 par Maxtimax.
geo
Re: Catégorie et foncteur
28 fvrier 2021, 21:23
Merci à tous pour ces précisions.
Concernant le vocabulaire je l'ai appris dans des cours en pdf.;
Sinon, j'ai découvert cela, en rangeant ma bibliothèque, dans un livre intitulé structures fondamentales de Mac Lane et Birkhoff.
C'est un peu vieillot donc j'ai cherché des cours sur le web. Si vous êtes intéressé par ce que j'ai trouvé sur le net je peux donner les sources.

Pour la petite histoire c'est en essayant de comprendre ce qu'est un produit tensoriel que je suis tombé sur les propriétés universelles etc et de fait les catégories.

ps: je ne connaissais que la propriété universelle du quotient.
Re: Catégorie et foncteur
01 mars 2021, 07:50
avatar
Bonjour à tous,

je m'incruste un peu dans la discussion car la question de départ aurait pû être la mienne!
Merci pour les références en français (car, comme Jean-Louis, lire ne anglais ne m'amuse plus tellement) mais elles me semblent difficiles à trouver (et Martial peut témoigner de ma faculté à dégoter les références en pdf d'habitude).
Je me permets une question un peu provocante: lorsque j'étais étudiant, au cours d'un séminaire d'introduction à la géométrie Riemannienne (auxquels je n'ai rien compris ni le séminaire, ni la géo), mon ancien prof de probas m'a dit qu'il attendait toujours de voir un problème auquel les catégories auraient pu servir à quelque chose, je fais alors mienne sa question?

Merci encore,
Amicalement,
F.D.
Re: Catégorie et foncteur
01 mars 2021, 09:12
FrançoisD : elles servent à tout bout de champ en topologie algébrique, théorie de l'homotopie, en géométrie algébrique, en théorie des représentations,...

En fait il est souvent difficile même d'exprimer beaucoups de problèmes dans ces domaines sans catégories, j'ai esquissé cette réponse dans un fil récent, en particulier j'ai expliqué dans quelle mesure la réponse était "plein de problèmes", et dans quelle mesure c'était "bah aucun" ("aucun" parce que, de manière évidente, pour faire des maths qui ne sont pas des catégories, il fait un input non catégorique donc la preuve ne sera pas que catégorique)
Je crois que c'est Cyrano qui m'avait dit (je me trompe peut-être) que les catégories dérivées avaient même un intérêt en analyse ! (Mais ça je n'y connais rien)

PS: spécifiquement, tu pourras regarder mes paragraphes I,II,IV,VI ici

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/03/2021 09:38 par Maxtimax.
Re: Catégorie et foncteur
01 mars 2021, 10:03
@FD: en gros, pense aux ordres. Une catégorie n'est essentiellement pas tellement plus qu'un ordre. Bon, bin les ordres ne permettent "évidemment pas" de résoudre des problèmes ouverts en un sens qu'on leur reconnaitrait une sorte de substantifique moelle catalysatrice de solutionnages, mais ils sont un peu omniprésents dans la science, en tant que généralisations de l'ordre historique mis entre les cardinaux.

Le catégorisme ajoute aux ordres le fait qu'il y a it plusieurs flèches ou si tu préfères que la flèche qui va de A à B peut avoir plusieurs couleurs. Dès lors la transitivité des ordres (exprimée avec "oui/non") s'exprime en couleur, autrement dit avec une opération (qu'on note généralement $\circ$), plutôt qu'avec une phrase.

@geo : on ne peut pas qualifier (même si au fond toutes les maths sont de la logique appliquée, par définition) le paradigme catégorique de sous-spécialité de la logique mathématique, pour plusieurs raisons:

0/ .. qui sont un peu les mêmes que l'étude des ordres.

1/ L'activité est essentiellement de type mathématique standard.

2/ Les pros et experts qui s'en servent sont souvent peu connaisseurs en LM

3/ Les intentions sont différentes en grande partie. Les expériences aussi des matheux chevronnés mondialement connus qui exposent sur ce qu'ils ressentent que cet outil a apporté.

4/ Il n'y a pas "de voie naturelle et directe" qui mène à la focalisation (par exemple, en logique on prend la réalité scientifique "telle qu'elle est", on ne la code pas, on ne la transforme pas, on ne la "dé-amidonne" pas et on va "étudier" et "formaliser" son aventure et tenter de comprendre des choses. Quand ça peut servir tant mieux, mais ce n'est pas le but applicatif)

5/ Dans le sens positif, tu as une proportion non négligeable de logiciens qui s'en occupent, mais disons qu'on en est plus au stade d'un truc qui pourrait s'appeler "rencontre"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Catégorie et foncteur
01 mars 2021, 10:23
Citation

Je me permets une question un peu provocante: lorsque j'étais étudiant, au cours d'un séminaire d'introduction à la géométrie Riemannienne (auxquels je n'ai rien compris ni le séminaire, ni la géo), mon ancien prof de probas m'a dit qu'il attendait toujours de voir un problème auquel les catégories auraient pu servir à quelque chose, je fais alors mienne sa question?
Les conjectures de Weil?
La conjecture de Mordell?
La conjecture de Bloch-Kato?
Re: Catégorie et foncteur
01 mars 2021, 21:29
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Merci MaxTiMax, Christophe et Noname pour vos réponses

amicalement,
F.D.
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