5 exercices pour OShine
Je mettrai un lien vers le fil antérieur quand j'aurai le temps.
A partir du numéro 77 inclus, je les poste dans le cours du fil pour éviter de trop rallonger le présent fil.
Le numéro 77 se trouve ici
Accès à l'exercice 81 en cliquant
Accès à l'exercice 150 en cliquant (exceptionnellement, 2 mois pour le faire)
Accès vers le 82
Accès vers les 83 et 84
Accès à l'exercice 87
Lien vers l'exercice 90 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2196794,2238866#msg-2238866
Lien vers le 88
J'ai la flemme de chercher le 87, mais il s'agissait pluss d'une lecture à faire que d'un exo
Lien vers le 91
Oshine, je passe à la numérotation 70.
Je te mets deux os à ronger qui doivent te prendre TRANQUILLEMENT 2 semaines de réflexion. Ce ne sont pas des exercices très faciles, ni très durs, je les ai inventés exprès en venant de lire ton dernier post pour que tu ne trouves nulle part de correction et que tu n'aies pas besoin de connaissances. Autement dit, ils te feront travailler exactement ce qu'il te faut travailler à savoir la méditation mathématique et le temps de gestation que tu refuses de regarder en face.
Exercice 70 :
$T$ est un ensemble d'ensembles finis. Tous ses éléments ont un cardinal impair. En outre, pour tout $x,y$ dans $T: (x\cup y)$ est aussi dans $T$.
Prouve qu'il existe $a$ tel que $\forall x\in T: a\in x$.
Le 70 a reçu une correction
Exercice 71 sera corrigé vers le 22 mars 2021:
Soit $A$ une partie fermée du plan (doté de sa distance euclidienne usuelle issue du produit scalaire usuel), non vide et telle que tous ses éléments sont à une distance au plus $1$ de l'origine. Prouve l'existence d'un carré tel que: (1) et (2)
(1) tous les éléments de $A$ sont dans ce carré
(2) Chaque côté du carré rencontre $A$
Le carré a le droit d'être un point.
[size=x-small]Tu ne pourras pas mettre moins d'une semaine à les résoudre. Tu ne pourras pas juste faire un calcul de fuite. Tu devras formaliser après avoir trouvé le coeur intuitif des mécanismes sous-jacents. Tu as le niveau pour les réussir en moins de 15 105 jours - 3 semaines.
Si tu les boycottes, tu ne seras JAMAIS compétent en mathématiques. Ils ne nécessitent pas de background[/size]
Exercice numéro 72 sera corrigé vers le 24 mars 2021:
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire qui n'est pas un corps fini.
Prouve qu'il existe une application $f: A\to A$ telle que
pour tout polynôme $P\in A[X]$,
il existe $a\in A:$ tel que :
Exercice numéro 73 sera corrigé vers le 30 mars 2021:
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.
Prouve qu'il existe une application $f: A\to A$ telle que
pour tout sous-anneau $B$ unitaire de $A$ qui est stable par $f$ et qui n'est pas un corps fini
pour tout polynôme $P\in B[X]$,
il existe $b\in B:$ tel que :
Exercice numéro 74 sera corrigé vers le 5 avril 2021:
Soit $K$ un sous-corps de $\C$.
On suppose que pour tout entier naturel $n>0$, toutes suites finies injectives $u_1,..,u_n$ et $v_1,..,v_n$ d'éléments non nuls de $K$, l'équation:
$$ [\frac{u_1}{x+v_1}+\dots + \frac{u_n}{x+v_n} = 0;\ inconnue\ x]$$
a une solution dans $K$.
Prouve qu'alors tout polynôme de degré au moins 1,
dont les coefficients sont dans $K$
a une solution dans $K$.
Exercice 75 (sera corrigé vers le 12/04/2021)
Soit $T$ un ensemble fini de parties finies. On suppose que $\forall x,y$ tous deux dans $T: (x\cap y) \in T$.
On suppose de plus que tous les éléments de $T$ ont un cardinal pair.
Prouver l'existence d'un ensemble $L$ qui ne contient que des ensembles de cardinal $2$ et qui soit tel que tout élément de $T$ est une réunion de certains éléments de $L$.
Remarque: tu as le droit d'admettre le 70 comme un théorème.
Exercice 76 (sera corrigé vers le 19/04/2021) (Merci à JLT)
Soit $A$ une partie COMPACTE du plan euclidien qui n'est incluse dans aucune droite. Prouve l'existe d'un disque fermé $D$ tel que $A\subset D$ et $A$ contient au moins 3 éléments différents sur le cercle bord.
A partir du numéro 77 inclus, je les poste dans le cours du fil pour éviter de trop rallonger le présent fil.
Le numéro 77 se trouve ici
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Accès à l'exercice 150 en cliquant (exceptionnellement, 2 mois pour le faire)
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Accès à l'exercice 87
Lien vers l'exercice 90 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2196794,2238866#msg-2238866
Lien vers le 88
J'ai la flemme de chercher le 87, mais il s'agissait pluss d'une lecture à faire que d'un exo
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Oshine, je passe à la numérotation 70.
Je te mets deux os à ronger qui doivent te prendre TRANQUILLEMENT 2 semaines de réflexion. Ce ne sont pas des exercices très faciles, ni très durs, je les ai inventés exprès en venant de lire ton dernier post pour que tu ne trouves nulle part de correction et que tu n'aies pas besoin de connaissances. Autement dit, ils te feront travailler exactement ce qu'il te faut travailler à savoir la méditation mathématique et le temps de gestation que tu refuses de regarder en face.
Exercice 70 :
$T$ est un ensemble d'ensembles finis. Tous ses éléments ont un cardinal impair. En outre, pour tout $x,y$ dans $T: (x\cup y)$ est aussi dans $T$.
Prouve qu'il existe $a$ tel que $\forall x\in T: a\in x$.
Le 70 a reçu une correction
Exercice 71 sera corrigé vers le 22 mars 2021:
Soit $A$ une partie fermée du plan (doté de sa distance euclidienne usuelle issue du produit scalaire usuel), non vide et telle que tous ses éléments sont à une distance au plus $1$ de l'origine. Prouve l'existence d'un carré tel que: (1) et (2)
(1) tous les éléments de $A$ sont dans ce carré
(2) Chaque côté du carré rencontre $A$
Le carré a le droit d'être un point.
[size=x-small]Tu ne pourras pas mettre moins d'une semaine à les résoudre. Tu ne pourras pas juste faire un calcul de fuite. Tu devras formaliser après avoir trouvé le coeur intuitif des mécanismes sous-jacents. Tu as le niveau pour les réussir en moins de 15 105 jours - 3 semaines.
Si tu les boycottes, tu ne seras JAMAIS compétent en mathématiques. Ils ne nécessitent pas de background[/size]
Exercice numéro 72 sera corrigé vers le 24 mars 2021:
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire qui n'est pas un corps fini.
Prouve qu'il existe une application $f: A\to A$ telle que
pour tout polynôme $P\in A[X]$,
il existe $a\in A:$ tel que :
si $f(a)=P(a)$ alors $P(a)=P(f(a))$
Exercice numéro 73 sera corrigé vers le 30 mars 2021:
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.
Prouve qu'il existe une application $f: A\to A$ telle que
pour tout sous-anneau $B$ unitaire de $A$ qui est stable par $f$ et qui n'est pas un corps fini
pour tout polynôme $P\in B[X]$,
il existe $b\in B:$ tel que :
si $f(b)=P(b)$ alors $0_A = 1_A$
Exercice numéro 74 sera corrigé vers le 5 avril 2021:
Soit $K$ un sous-corps de $\C$.
On suppose que pour tout entier naturel $n>0$, toutes suites finies injectives $u_1,..,u_n$ et $v_1,..,v_n$ d'éléments non nuls de $K$, l'équation:
$$ [\frac{u_1}{x+v_1}+\dots + \frac{u_n}{x+v_n} = 0;\ inconnue\ x]$$
a une solution dans $K$.
Prouve qu'alors tout polynôme de degré au moins 1,
dont les coefficients sont dans $K$
a une solution dans $K$.
Exercice 75 (sera corrigé vers le 12/04/2021)
Soit $T$ un ensemble fini de parties finies. On suppose que $\forall x,y$ tous deux dans $T: (x\cap y) \in T$.
On suppose de plus que tous les éléments de $T$ ont un cardinal pair.
Prouver l'existence d'un ensemble $L$ qui ne contient que des ensembles de cardinal $2$ et qui soit tel que tout élément de $T$ est une réunion de certains éléments de $L$.
Remarque: tu as le droit d'admettre le 70 comme un théorème.
Exercice 76 (sera corrigé vers le 19/04/2021) (Merci à JLT)
Soit $A$ une partie COMPACTE du plan euclidien qui n'est incluse dans aucune droite. Prouve l'existe d'un disque fermé $D$ tel que $A\subset D$ et $A$ contient au moins 3 éléments différents sur le cercle bord.
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Réponses
Dans l'exercice 71, ne faudrait-il pas que $A$ soit fermé pour arriver à satisfaire (2) ?
Je vais y réfléchir.
x et y étant des ensembles il ne vaut pas mieux les noter X et Y ?
Ou encore $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$.
J'ai essayé une piste mais la subtilité du cardinal impair rend la chose plus difficile. J'ai voulu prendre un exemple, mais je tombe toujours avec un élément de cardinal pair dans l'ensemble vu que l'union de deux ensemble avec un nombre impair d'éléments donne un ensemble avec un nombre pair d'éléments.
Je trouve cela étrange.
Je crois avoir trouvé un cas particulier.
Premier cas :
Les éléments de $T$ sont des ensembles disjoints.
Si $T$ possède plus de $2$ éléments, c'est absurde. En effet, notons $X$ et $Y$ deux éléments de $T$. Comme ils sont de cardinal impair, on a $X \cup Y$ de cardinal pair, ce qui est impossible. Donc $T$ possède un élément.
Ainsi, il existe $a \in \R$ tel que $T=\{ a \}$.
Donc $\boxed{\exists a \in \R \ \forall X \in T \ a \in X} $.
Deuxième cas :
Les éléments de $T$ sont des ensembles non disjoints.
Ce cas me semble nettement plus difficile.
Si $X \in T$ et $Y \in T$ alors $X \cup Y \in T$. Les éléments de $X$ et $Y$ sont dans $X \cup Y$.
Mais ça montre que tu n'as pas compris un truc sur les maths : sans l'hypothèse de cardinal impair, l'énoncé à démontrer est peut-être faux ! Au contraire, la chose est plus facile avec cette hypothèse. C'est comme si tu disais, avant de partir à l'aventure, à quelqu'un qui te donne un couteau-suisse "oulala, je vais moins pouvoir me débrouiller, maintenant". C'est absurde !
JLT je crois que c'est $T$ possède un élément ou aucun. L'autre erreur je ne vois pas.
Si $T$ possède un unique élément, le résultat est vrai. Supposons à présent que $T$ possède au moins $2$ éléments.
Supposons par l'absurde que $\forall a \in \R \ \ \exists X \in T \ a \notin X$. Posons $n=card(T)$
Soit $a \in \R$. Alors il existe $X \in T$ tel que $a \notin X$.
Notons $q= card( Y \in T \ | \ a \not\in Y \}=card(A)$. Donc $card(B)=card( Y \in T \ | \ a \in Y \}=n-q$
Notons $X_1, \cdots, X_k$ des éléments de $T$.
On sait que $\displaystyle\bigcup_{Y \in A} Y \in T$ et $\displaystyle\bigcup_{Y \in B} Y \in T$
Voilà où je suis arrivé aujourd'hui j'ai cherché environ 2 heures, j'ai compris le principe sur des exemples mais la théorie je n'y arrive pas. Je fais une pause.
Il va peut être me falloir un an pour le résoudre :-(
Je te laisse finir.
> $\forall a \in \R$ ..................
Que vient faire ce $R$ ici ? Il n'est pas question du moindre nombre réel dans l'énoncé.
Les ensembles contenus dans $T$ peuvent aussi bien être des ensemble de carottes.
Cordialement,
Rescassol
Tu dis ça au bout d'une journée alors que je t'ai pronostiqué 2semaines. Et en plus tu as pas cessé de bavarder" avec autrui pour tenter de chasser des idées.
Je te conseille de jouer le jeu et ne plus chasser de la conversation inspirante car à tout moment tu risques qu'un intervenant te mette "trop" sur la voie malgré lui par un mot ou une sonorité et alors l'éternité ne te suffirait plus puisque tu pourrais toujours te dire en souvenir "on m'avait aidé".
Peu dispo, j'ai juste parcouru et pour l'heure la difficulté semble intacte donc tu n'es pas spoiled. Mais joue le jeu, tout matheux a déjà plusieurs fois de sa vie réfléchi plusieurs semaines à des casse tête.
@chauirien: ce n'est pas du tout le même niveau qu'olympiade, je rassure OS. C'est bien moins difficile. Ce n'est juste "pas donné". Mais l'inspiration nécessaire est peu car il y a pas "36000" abords directs possible et l'un d'eux marché.
Christophe de toute façon ce qu'a écrit Thierry je l'avais écrit sur ma feuille et je l'avais découvert à travers des exemples.
Tu ne peux pas t'empêcher de faire l'exercice à la place de O Shine. C'est à lui de trouver ça (et il ne l'avait pas vu, il ne voit que ce qu'on lui dit), pas à toi. Toi, on sait que tu sais faire !
Cordialement.
Je vous ai envoyé mon idée en MP
Il y a une confusion entre les éléments, les ensembles et les ensembles d'ensembles.
L'exo 70 est très amusant, il se fait de tête, mais pas en 30 secondes. D’où le sors -tu ?
Un problème d'accent ou est-ce que c'est la déclaration de guerre du cassoulet ?
e.v.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2196346,2196346#msg-2196346
$T$ est un ensemble d'ensemble.
$X$ est un ensemble qui appartient à $T$ et $a$ est un élément de l'ensemble $X$ non ?
Thierry Poma.
S'il existait $X$ et $Y$ disjoints, alors $card(X \cup Y)=card(X)+card(Y) \in 2 \Z$ ce qui est absurde.
Donc tous éléments de $T$ sont non disjoints $2$ à $2$. Il reste à montrer que tous les éléments de $T$ possèdent au moins un même élément $a$.
Christophe c
$T$ est un ensemble fini ou pas forcément ?
Par ailleurs T n'est pas nécessairement fini, pourquoi tu demandes ? L'énoncé est clair, il suffit de savoir lire.
Ok pour la dimension.
Supposons par l'absurde qu'il existe $a \in X$ mais $a \not\in Y$ avec $X,Y \in T$.
On sait que $a \in X \cup Y$. Et $card(X \cup Y)= card(X)+card(Y)- card(X \cap Y)$.
Notons $card(X)=2p+1$ et $card(Y)=2q+1$. Supposons que $card(X \cap Y)=k$
Alors $card(X \cup Y)=2(p+q+1)+k$ donc $k$ est impair.
Voilà où je suis arrivé mais je n'avance pas.
Christophe t'a donné plusieurs semaines, ne viens pas poster chacun de tes brouillons ici pour essayer de grappiller des indices, prends ton temps et reviens quand tu seras convaincu par ta démonstration !
On t'a dit qu'il fallait deux semaines, c'est normal que tu n'aies pas encore trouvé.
Le but n'est pas l'instant de la découverte, c'est la phase de recherche.
Cordialement,
Rescassol
En deux jours tu as quand même avancé un peu. Ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2196794,2197870#msg-2197870 tu as montré que le cardinal de l'intersection de deux ensembles est toujours impair (donc l'intersection est non vide).